3 + bx2 + cx + d = 0, det er almindeligt at tro, at det ikke har nogen løsning. Metoden til at finde rødderne på disse funktioner har dog eksisteret i århundreder! Opdaget for 500 år siden af italienske matematikere Niccolò Tartaglia og Gerolamo Cardano, var denne procedure et af de få, der ikke er kendt af grækerne og romerne. Løsning af de kubiske ligninger kan være vanskelig, men med den rigtige tilgang (og lidt grundlæggende viden) kan selv de mærkeligste mestrer sig.
trin
Metode 1 Brug af den kvadratiske formel
1
Kontroller, at ligningen har en konstant. Som beskrevet ovenfor følger disse funktioner økse3 + bx2 + cx + d = 0. b, c, og d kan være 0 uden at påvirke ligningens grad, dvs. det behøver ikke at have ordrebetingelser 2, 1 og 0. For at anvende denne relativt enkle metode skal du kontrollere, om ligningen har en konstant, eller hvis "d" er forskellig fra nul. Hvis d = 0, kan du bruge vejledning til løsning af anden-graders ligninger at finde årsagerne til den kvadratiske funktion efter en simpel matematisk manipulation.
På den anden side, hvis ligningen har en konstant, skal du bruge andre metoder. Fortsæt med at læse artiklen for at lære mere om dem.
2
Video: Calling All Cars: Old Grad Returns / Injured Knee / In the Still of the Night / The Wired Wrists
Sæt "x" i beviser. Da deres ligning ikke har en konstant, har alle udtryk variablen "x" i dem, det vil sige "x" kan lægges til grund for at forenkle funktionen. Gør dette ved at omskrive ligningen i formularen x(økse2 + bx + c).
Lad os f.eks. Sige, at den oprindelige ligning var 3x3 + -2x2 + 14x = 0. At have "x" i bevis, har vi x(3x2 + -2x + 14) = 0.
3
Brug den kvadratiske formel til at finde rødderne af den del i parentes. Du har muligvis bemærket, at funktionen inden for parentes er af anden grad (økse2 + bx + c). Det betyder, at vi kan finde sine rødder ved hjælp af formlen BASKHARA ({b +/ -v (b2- 4ac)} / 2den). Gør dette for at finde to af rødderne til din kubiske ligning.
I vores eksempel bruger vi værdierne af en b og c værdier (henholdsvis 3, -2 og 14) i BASKHARA formel:
{-b +/ -v (b2- 4ac)} / 2den
(- (- 2) +/- v ((-2)2- 4 (3) (14)) / 2 (3)
(2 +/- v (4 - (12) (14)) / 6
(2 +/- v (4 - (168)) / 6
{2 +/- v (-164)} / 6
Svar 1:
{2 + v (-164)} / 6
{2 + 12,8jeg} / 6
Svar 2:
{2 - 12.8jeg} / 6
4
Roten af den kubiske ligning er nul, og de to findes i kvadratet. Mens kvadratiske funktioner har to rødder, kubiske har tre, du har fundet to grunde den kubiske ligning at løse den kvadratiske. I tilfælde hvor du kan sætte "x" i beviser, bliver den tredje rod "0". Tillykke med, du har lige løst din første kubiske ligning.
Årsagen til dette er, at "ethvert antal gange nul resulterer i nul". Når du faktoriserer ligningen i formularen x(økse2 + bx + c) = 0, den er opdelt i to dele: en del er "x" og den anden er den kvadratiske funktion. For at denne fakturerede ligning skal være null, skal en eller begge dele være null. På grund af dette er begge rødder af den kvadratiske funktion også rødder af den kubiske. For at nulste den første del af ligningen (eller "x"), har vi brug for x = 0 og dermed er det den anden rod i kubik.
Metode 2 Finde hele løsninger med faktorliste
1
Sørg for, at ligningen har en konstant. Selv om ovenstående metode er praktisk, fordi den ikke bruger nogen ny matematisk viden, vil det ikke altid fungere. Hvis ligningen har formularen økse3 + bx2 + cx + d = 0, det vil sige med "d" ikke null, vil du ikke være i stand til at sætte "x" i beviser, og du skal derfor anvende metoden beskrevet i dette afsnit eller i afsnittet nedenfor.
Lad os for eksempel tage ligning 2x3 + 9x2 + 13x = -6. I dette tilfælde for at annullere højre side af ligestillingen, skal du blot tilføje 6 på begge sider. Derfor er den nye ligning: 2x3 + 9x2 + 13x + 6 = 0 og, som d = 6, kan vi ikke isolere "x".
2
For at løse den kubiske ligning starter man med factoring "a" (koefficienten af x3) og d (konstanten). Faktorerne i et tal er dem, hvis produkt resulterer i det. For eksempel kan 6 opnås ved at multiplicere 6x1 og 2x3. Derfor er dens faktorer {1, 2, 3 og 6}.
I vores eksempel a = 2 og d = 6. 2 faktorer er {1, 2} og {6 er 1, 2, 3, 6},
3
Del "a" -faktorerne med "d" -faktorerne. Dernæst list de værdier, der opnås ved at dividere hver faktor af "a" med hver faktor "d". Normalt vil dette resultere i flere fraktioner og nogle heltal. Løsningerne på din kubiske ligning vil være heltalene eller modsatsen til et af disse tal.
I vores eksempel deler vi den (1, 2) af faktorerne i d (1, 2, 3, 6) har vi følgende sæt: {1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 og 2/3}. Så tilføjer vi modsætningerne til sætet for at fuldføre det: {1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2 , 2/3 og -2/3}. Løsningerne til den kubiske ligning er nødvendigvis i dette sæt.
4
Brug den syntetiske deling eller kontroller resultaterne manuelt. Når du har listen over mulige rødder i hånden, kan du finde løsningerne ved manuelt at erstatte tallene i den oprindelige ligning og kontrollere, om ligestilling er gyldig. Men hvis du ikke vil spilde tid på at gøre dette, er der en enklere metode, der involverer en teknik kaldet syntetisk division. Grundlæggende er heltalværdierne opdelt af koefficienterne i den oprindelige ligning. Hvis divisionen giver hvile 0, er værdien og spørgsmålet en ro af ligningen.
Syntetisk division er et forholdsvis komplekst emne - se linket ovenfor for mere information om emnet. Dernæst vil vi vise, hvordan det er muligt at finde en af løsningerne i vores ligning ved hjælp af denne metode.
-1 | 2 9 13 6
__ | -2-7-6
__ | 2 7 6 0
Da vi har en rest 0, ved vi, at (-1) er en løsning af den kubiske ligning.
Metode 3 Brug af diskriminerende metode
1
Skriv værdierne for a b c og d. I denne metode vil vi arbejde hårdt på koefficienterne. På grund af dette er det vigtigt at nedskrive deres værdier, før vi begynder for ikke at glemme dem under beregningerne.
For eksempel for ligning x3 - 3x2 + 3x - 1 skal man notere a = 1, b = -3, c = 3 og d = -1. Glem ikke at når der ikke er nogen koefficient foran "x", er det fordi denne værdi er 1.
Video: The Great Gildersleeve: Leroy's Toothache / New Man in Water Dept. / Adeline's Hat Shop
2
Beregn Δ0 = b2 - 3ac. Denne metode kræver nogle komplicerede beregninger, men ved at følge trin for trin nøje vil du indse, at det er et grundlæggende redskab til at finde rødderne i kubiske ligninger. Først skal du finde værdien af Δ0, den første af mange konstanter, der skal bruges, og erstatte koefficienterne i formlen b2 - 3ac.
Løsning for vores eksempel har vi:
b2 - 3ac
(-3)2 - 3 (1) (3)
9 - 3 (1) (3)
9-9 = 0 = Δ0
3
Beregn Δ1 = 2b3 - 9på ABC + 27den2d. Den anden konstant, vi har brug for, Δ1, kræver lidt mere arbejde, men er i udgangspunktet beregnet på samme måde, som Δ0. Udskift blot værdierne af koefficienterne i formel 2b3 - 9på ABC + 27den2d at finde Δ1.
I vores eksempel:
2 (-3)3 - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1)2(-1)
2 (-27) -9 (-9) + 27 (-1)
-54 + 81-27
81 - 81 = 0 = Δ1
4
Løs ligningen Δ = Δ12 - 4Δ03) ÷ -27den2. Derefter beregner vi den kubiske funktionsdiskriminant med værdierne Δ0 og Δ1. En diskriminator er dybest set et tal, der giver os oplysninger om rødderne af et polynom (du kender sandsynligvis diskriminatoren til Bhaskara, for eksempel, b2 - 4ac). I tilfælde af en kubisk ligning, hvis diskriminanten er positiv, vil den have tre rødder, hvis diskriminanten er negativ, vil den have en enkelt rod. En kubisk funktion vil altid have en reel løsning, fordi din graf skal skære den vandrette akse mindst en gang.
I vores eksempel, som både Δ0 og Δ1 = 0, vil beregningen Δ være ekstremt simpelt:
Δ12 - 4Δ03) ÷ -27den2
(0)2 - 4 (0)3) ÷ -27 (1)2
0 - 0 ÷ 27
0 = Δ, så vores ligning har et eller to svar.
5
Beregn C = 3v (v ((Δ12 - 4Δ03) + Δ1) / 2). Den sidste vigtige konstant, der skal beregnes, er "C". For at finde det, skal du blot erstatte værdierne for Δ1 og Δ0 efter behov.
I vores eksempel:
3v (v ((Δ12 - 4Δ03) + Δ1) / 2)
3v (v 02 - 4 (0)3) + (0)) / 2)
3v (v ((0-0) + (0)) / 2)
0 = C
6
Beregn de tre rødder af den kubiske ligning med de beregnede konstanter. De er defineret af formlen (b + unC + (Δ0 /unC)) / 3den, hvor u = (-1 + v (-3)) / 2 og n forudsætter værdien 1, 2 eller 3. Erstat værdier som nødvendigt. Selvom mange beregninger er påkrævet, skal du finde de tre rødder i den kubiske ligning.
I vores eksempel kan vi løse ligningen for værdierne n = 1, 2 eller 3. De fundet svar er mulige løsninger af den kubiske ligning (udskift dem og kontroller, om vi får 0). For eksempel, hvis vi får værdien af 1 i en af vores tests, såsom at erstatte "x" med en i funktionen x3 - 3x2 + 3x - 1 resulterer i 0, vi ved, at 1 er en af rødderne af den pågældende kubiske ligning.
Sådan finder du vertexet af en kvadratisk ligning
Sådan finder du Vertex
Sådan afledes Bhaskara Formel
Sådan finder du den kartesiske ligning af et fly
Sådan Find krydsning af X
Find nuller af en funktion
Sådan faktor algebraiske ligninger
Sådan Faktor En 3. Grad Polynom
Sådan gør du Implicit Differentiering
Sådan løses simple algebraiske ligninger
Sådan løses lineære ligninger med flere variabler i algebra
Sådan løser du trigonometriske ligninger
Sådan løses logaritmer
Sådan løses et system af ligninger
Sådan løses en 2x3 matrix
Finde samlet betaling i en rente-ligning
Finde rødder af en kvadratisk ligning
Sådan løser du irrationelle ligninger med mærkelige rødder
Sådan løses modulære ligninger