HodTari.com

Sådan løser du trigonometriske ligninger

En trigonometrisk ligning er en ligning, der indeholder en eller flere trigonometriske funktioner af den bue x trigonometriske variabel. Løsning af værdien af ​​x betyder at finde værdierne for de trigonometriske bue, hvis trigonometriske funktioner gør ligningen sande.

  • Svar, eller værdier af opløsningsbuer, udtrykkes i grader eller radianer. Eksempler:

x = Pi / 3-x = 5Pi / 6-x = 3Pi / 2-x = 45 °. - x = 37,12 °. - x = 178,37 °.

  • Bemærk: I den trigonometriske enhedscirkel er de trigonometriske funktioner i en hvilken som helst lysbue de samme trigonometriske funktioner i den tilsvarende vinkel. Den trigonometriske cirkel definerer alle funktionerne i variablen bue x. Det bruges også som bevis på løsningen af ​​grundlæggende trigonometriske ligninger og uligheder.
  • Eksempler på trigonometriske ligninger:
    • sin x + sin 2x = 1/2 - tg x + cot x = 1,732 -
    • cos 3x + sin 2x = cos x - 2sen 2x + cos x = 1.
  1. Den trigonometriske cirkel.
    • Det er en cirkel med Ray = 1 enhed, med 0 som sin oprindelse. Det er den trigonometriske enhedscirkel, der definerer de 4 vigtigste trigonometriske funktioner i bue x-variablen, der roterer mod uret i den.
    • Når buen, med værdi x, varierer i en trigonometrisk cirkel:
    • Den vandrette akse 0Ax definerer den trigonometriske funktion f (x) = cos x.
    • Den vertikale akse 0By definerer den trigonometriske funktion f (x) = sin x.
    • Den vertikale akse AT definerer den trigonometriske funktion f (x) = tg x.
    • Den vandrette akse BU definerer den trigonometriske funktion f (x) = cot x.
  • Den trigonometriske cirkel bruges også til at løse grundlæggende trigonometriske ligninger og uligheder ved at overveje de forskellige positioner af bue x i denne cirkel.

trin

Video: Trigonometriske ligninger med sinus

Billedets titel Løs trigonometriske ligninger Trin 1

Video: Trigonometriske ligninger med tangens

1
Kend begrebet Resolution.
  • For at løse en trigonometrisk ligning skal du omdanne den til en eller flere grundlæggende trigonometriske ligninger. Løsning af trigonometriske ligninger er simpelthen at løse 4 grundlæggende typer af trigonometriske ligninger.
  • Billedbetegnelse Løs trigonometriske ligninger Trin 2
    2
    Lær hvordan du løser grundlæggende trigonometriske ligninger.
    • Der er 4 typer af grundlæggende trigonometriske ligninger:
    • sin x = a - cos x = a
    • tg x = a - barneseng x = a
    • Løs de grundlæggende trigonometriske ligninger ved at studere de forskellige positioner af buen x i den trigonometriske cirkel og ved hjælp af en trigonometrisk (eller regnemaskine) konverteringstabel. For fuldt ud at forstå, hvordan man løser disse grundlæggende trigonometriske ligninger og andre lignende ligninger, se bogen titlen: "Trigonometri: Løsning af trig-ligninger og uligheder" (Amazon E-book 2010).
    • Eksempel 1. Beregn synden x = 0,866. Konverteringstabellen (eller regnemaskinen) giver os svaret: x = Pi / 3. Den trigonometriske cirkel giver os en anden bue (2Pi / 3), som har samme værdi som sin (0.866). Den trigonometriske cirkel giver os også et uendeligt antal svar.
    • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi og x2 = 2Pi / 3. (Svar inden for rækkevidde (0, 2Pi))
    • x1 = Pi / 3 + 2k Pi og x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Et andet svar).
    • Eksempel 2. Beregn cossen x = -1/2. Regnemaskiner giver os x = 2 Pi / 3. Den trigonometriske cirkel giver os en anden x = -2Pi / 3.
    • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi og x2 = -2Pi / 3. (Svar inden for rækkevidde (0, 2Pi))
    • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi og x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Et andet svar)
    • Eksempel 3. Beregn: tg (x - Pi / 4) = 0.
    • x = Pi / 4 - (svar)
    • x = Pi / 4 + k Pi- (et andet svar)
    • Eksempel 4. Beregn cotangent = 1732. Lommeregnerne og den trigonometriske cirkel giver os:
    • x = pi / 12 - (svar)
    • x = Pi / 12 + k Pi - (Et andet svar)
  • Billedbetegnelse Løs trigonometriske ligninger Trin 3
    3
    Lær de transformationer, der anvendes til beregning af de trigonometriske ligninger.
    • At dreje en given trigonometriske ligning i grundlæggende ligninger, anvende fælles algebraiske transformationer (factoring, fælles faktor, polynomiel identiteter ...), definitioner og egenskaber trigonometriske funktioner og trigonometriske identiteter. Der er visse 31 mellem dem, og de sidste 14, fra 19 til 31, kaldes Transformation Identities, da de bruges til at transformere trigonometriske ligninger. Se bogen nævnt ovenfor.
    • Eksempel 5: trigonometrisk ligning: sin x + sin 2 x + sin 3x = 0 kan transformeres ved anvendelse trigonometriske identiteter til produktet af grundlæggende trigonometriske ligninger: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. de grundlæggende trigonometriske ligninger, der skal løses, er: x = 0 cos - sin (3x / 2) = 0 - og cos (x / 2) = 0.

  • Billedbetegnelse Løs trigonometriske ligninger Trin 4

    Video: Trigonometriske likninger 1

    4


    Find de buer, hvis trigonometriske funktioner er kendt.
    • Før du lærer at løse trigonometriske funktioner, skal du vide, hvordan du hurtigt finder den lysbuen, hvis trigonometriske funktioner er kendt. Konverteringsværdierne for buerne (eller vinklerne) er angivet af trigonometriske eller regnemaskine tabeller.
    • Eksempel: Efter opløsning har du cos x = 0.732. Regnemaskinerne giver lysbuen opløsningen x = 42,95. Den trigonometriske cirkel giver os andre løsningsbuer, der har samme cosinusværdi.
  • Billedbetegnelse Løs trigonometriske ligninger Trin 5
    5
    Grav løsningsbuerne i den trigonometriske cirkel.
    • Du kan gøre grafen til at illustrere løsningsbuerne i din trigonometriske cirkel. Slutpunkterne af disse opløsningsbuer består af regelmæssige polygoner i cirklen. For eksempel:
    • Terminalpunkterne på buerne x = Pi / 3 + k.Pi / 2 udgør en firkant i den trigonometriske cirkel.
    • Løsningsbuerne x = Pi / 4 + k.Pi / 3 er repræsenteret af hjørnerne af en regelmæssig sekskant i den trigonometriske cirkel.
  • Billedbetegnelse Løs trigonometriske ligninger Trin 6
    6
    Lær tilgange til at løse de trigonometriske ligninger.
    • Hvis en given trigonometrisk ligning kun har en trigonometrisk funktion, skal du løse den som en grundlæggende trigonometrisk ligning. Hvis den givne ligning indeholder to eller flere trigonometriske funktioner, er der 2 fremgangsmåder i opløsningen afhængigt af muligheden for transformation.
      • A. Tilgang 1.
    • Lad f (x) = g (x) = 0 eller f (x) .g (x) .h (x) = 0, hvor f (x), g (x) eh (x) er grundlæggende trigonometriske ligninger.

    • Eksempel 6. Løs: 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2Pi)
    • Løsning. Erstatte ligningen sin 2x ved hjælp af identiteten: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
    • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Løs derefter de 2 grundlæggende trigonometriske funktioner: cos x = 0 og (sin x + 1) = 0.
    • Eksempel 7. Løs: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2Pi)
    • Løsning. Tænde en produktet ved hjælp af trigonometriske identiteter: cos 2x (x + 2cos 1) = 0. løse Så de to grundlæggende trigonometriske ligning: cos 2x = 0 og (x + 2cos 1) = 0.
    • Eksempel 8. Løs: synd x - sin 3x = cos 2x. (0 < x < 2Pi)
    • Løsning. Tænde en produktet ved hjælp af trigonometriske identiteter: 2x * -cos (2sen x + 1) = 0. løse Så de to grundlæggende trigonometriske ligning: cos 2x = 0 og (x 2sen + 1) = 0.
      • B. Tilnærmelse 2.
    • Transformér den trigonometriske ligning til en trigonometrisk ligning med kun en enkelt trigonometrisk funktion som en variabel. Der er nogle tips om, hvordan du vælger den rigtige variabel. De almindelige variabler at vælge er: sin x = t cos x = t cos 2x = t, tg x = t og tg (x / 2) = t.
    • Eksempel 9. Løs: 3Si-2x-2cos-2x = 4sen x + 7 (0 < x < 2Pi).
    • Løsning. Udskift ligningen (cos ^ 2 x) med (1 - sin ^ 2 x), og simplificer derefter ligningen:
    • sin x 2 x - 2 - 2sen ^ 2 x - 4sen x - 7 = 0. Sig at synd x = t. Ligningen drejer: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dette er en kvadratisk ligning, der har 2 reelle rødder: t1 = -1 og t2 = 9/5. Den anden t2 afvises, da den er> 1. Derefter løser: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
    • Eksempel 10. Løs: tg x + 2 tg ^ 2 x = cot x + 2.
    • Løsning. Sig at tg x = t. Omdanne ligning med variabel t som: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) T = 0. Løs for produktet efter løse den trigonometriske ligning t = tg x for x.

  • Video: Trigonometriske ligninger med cosinus

    Billedbetegnelse Løs trigonometriske ligninger Trin 7
    7
    Løs særlige typer trigonometriske ligninger.
    • Der er nogle specielle typer trigonometriske ligninger, der kræver visse typer transformationer. Eksempler:
    • a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c -
    • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
  • Billedbetegnelse Løs trigonometriske ligninger Trin 8
    8
    Lær den periodiske egenskab af trigonometriske funktioner.
    • Alle trigonometriske funktioner er periodiske, hvilket betyder at de vender tilbage til deres startværdi efter en rotation i en periode. Eksempler:
      • Funktionen f (x) = sin x har 2Pi som perioden.
      • Funktionen f (x) = tg x har Pi som perioden.
      • Funktionen f (x) = sin 2x har Pi som perioden.
      • Funktionen f (x) = cos (x / 2) har 4Pi som perioden.
    • Hvis perioden er angivet i problemet / spørgsmålet, skal du finde løsningen af ​​buen af ​​x i denne periode.
    • BEMÆRK: At løse en trigonometrisk ligning er kompliceret arbejde, der ofte fører til fejl. Derfor skal svarene altid kontrolleres nøje. Efter løsningen kan du kontrollere svarene ved hjælp af en grafisk regnemaskine til at tegne den givne ligning R (x) = 0 direkte. Svarene (rigtige rødder) vil blive angivet i decimaltal. For eksempel har Pi en værdi på 3,14
    • Del på sociale netværk:

    Relaterede
    © 2024 HodTari.com