Sådan plottes polære koordinater

Den kartesiske plan, vi ved, er let at lære, men det er ikke passende for enhver situation. Hvad hvis du vil plotte røgen af et hjul eller vandbevægelsen løber ned i et dræn? I disse tilfælde er cirkulære koordinater mere egnede. Faktisk har du sikkert allerede anvendt de grundlæggende principper for polære koordinater dag-til-dag uden at indse det. For at finde ud af, hvor lyden af en siren kommer fra, har vi brug for to oplysninger: Afstanden er fra dig og i hvilken retning lyden kommer. Det polære koordinatsystem kortlægger punkterne på samme måde, der beskriver afstanden, $r$

indhold

Trin

Del 1plotting af polære koordinater

Video: vektorer i nspire

Del 2tegner et punkt
Del 3eksempler

Video: tegning af vektorer i geogebra

Første eksempel

Video: vektorer geogebra

Andet eksempel

Del 4konvertering af kartesiske koordinater til polære koordinater

Tips

Nødvendige materialer

{ displaystyle r}

,fra et fast punkt og vinklen,

{ displaystyle theta}

,fra en fast radius.

trin

Del 1
Plotting af polære koordinater

Video: Vektorer i Nspire

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 1

Indstil polarplanet. Du har sikkert allerede scoret point i a Kartesiske fly ved hjælp af notationen

{ displaystyle (x, y)}

.De polære koordinater udgør til gengæld forskellige grafer, fordi de er baseret på cirkler:

Grafernes midtpunkt (eller oprindelsen, i et rektangulært plan) kaldes polo. Du kan kalde det "O".
Fra denne stolpe tegner du en vandret linje til højre side. Hun bliver den polaksel. Akseenhederne skal være de samme som x-aksen for et kartesisk plan.
Hvis du har en polar koordinatrolle, vil du bemærke, at den viser flere cirkler af forskellig størrelse. I dette tilfælde behøver du ikke at tegne dem ved hjælp af et blankt papir.

Billede med titlen Plot Polar Koordinater Trin 2

Forstå polære koordinater. I polarplanet er et punkt repræsenteret af koordinater i formularen

{ displaystyle (r, theta)}

Den første variabel, ${ displaystyle r}$ ,angiver radius. Hvert punkt vil være inde i en cirkel, der vil have en vis radius ${ displaystyle r}$ og vil være centreret på stangen (oprindelse).
Den anden variabel, ${ displaystyle theta}$ ,repræsenterer en vinkel. Hvert punkt er også langs en linje, der passerer gennem polen og danner en vinkel ${ displaystyle theta}$ med polaraksen.

Billede med titlen Plot Polar Koordinater Trin 3

Gennemgå den trigonometriske cirkel. I det polære koordinatsystem måles vinklen normalt i forhold i stedet for grader. I dette system svarer en fuld rotation (360 °) til en vinkel på 2

{ displaystyle pi}

radianer (denne værdi blev valgt, fordi en cirkel med radius 1 har omkredsen på 2

{ displaystyle pi}

). At kende dig selv med den trigonometriske cirkel hjælper dig meget, når du arbejder med polære koordinater.

For øjeblikket er du ikke bekymret, hvis din bog bruger grader. Du kan også plotte punkter ved hjælp af værdier i grader til ${ displaystyle theta}$ .

Del 2
Tegner et punkt

Billede med titlen Plot Polar Koordinater Trin 4

Byg en lysekreds ${ displaystyle r}$ . Ethvert punkt

{ displaystyle P}

polar koordinat i formularen

{ displaystyle (r, theta)}

.Kom i gang tegne en cirkel af lyn

{ displaystyle r}

centreret på stangen.

Polen er midtpunktet for grafen, hvor oprindelsen vil være på et kartesisk plan.
For eksempel at plotte punktet ${ displaystyle (5, { pi {2}}}}$

Billedbetegnelse Plot Polar Koordinater Trin 5

Mål vinklen ${ displaystyle theta}$ dannet med polaraksen. Placer graden så dens centrum ligger på polen, og bunden er på polaraksen. Mål vinklen

{ displaystyle theta}

fra aksen. Hvis den værdi, der skal anvendes, er i radianer, og din grader kun viser grader, udfør enhedskonvertering eller se den trigonometriske cirkel.

I tilfælde af ${ displaystyle (5, { pi {2}}}}$ π2{ displaystyle { frac { pi} {2}}}svarer til ¼ drej i cirklen, det vil sige 90 ° fra polar succes.
Når du måler vinkler mod uret, skal du holde signalet positivt. Når du måler med uret, skal du bruge negativt tegn.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 6

Tegn en linje i henhold til tegn på ${ displaystyle r}$ . Det næste skridt er at tegne en linje langs den vinkel, du har målt. Men før du gør dette, skal du vide, hvilken side du skal trække på. For at finde ud af, observere polarkoordinaterne

{ displaystyle (r, theta)}

hvis ${ displaystyle r}$ er positiv, trække linjen "fremad", startende fra stangen og efter markeringen af den vinkel, du lige har lavet.
hvis ${ displaystyle r}$ er negativ, trække linjen "baglæns", begyndende fra markeringen af vinklen, der vender tilbage ved stangen og krydser med cirklen på den modsatte side.
Forveksles ikke med kartesiske koordinater. Disse signaler svarer ikke til de positive eller negative værdier af "x" og "y" akserne.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 7

Marker punktet hvor linjen og cirklen møder. Dette bliver den

{ displaystyle (r, theta)}

Pointen ${ displaystyle (5, { pi {2}}}}$ vil være i en cirkel med radius 5 centreret på polen i position svarende til ¼ af vejen på omkredsen mod uret (dette punkt svarer til (0, 5) i kartesiske koordinater).

Del 3
eksempler

Video: Tegning af vektorer i GeoGebra

Første eksempel

Plot punktet P = ${ displaystyle (4, { frac {- }} {3}}}}$ på polarplanet.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 8

Video: vektorer geogebra

Byg en lysekreds ${ displaystyle r = 4}$ centreret over polen.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 9

Mål vinklen ${ displaystyle { frac {- pi} {3}}}$ radianer. Mål denne vinkel fra den polære exio (svarende til x-aksen). Som vinklen

{ displaystyle { frac {- pi} {3}}}

er negativ, måler denne vinkel med uret.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 10

Tegn en linje i denne vinkel. Start ved stangen (oprindelse). Da radius er positiv, start ved stangen og gå gennem den målte vinkel. Det punkt, hvor linjen krydser cirklen, er det, vi leder efter,

{ displaystyle (4, { frac {- }} {3}}}}

Andet eksempel

Plot punktet Q = ${ displaystyle (-2, {3}} {2}}}$ på polarplanet.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 11

Byg en lysekreds ${ displaystyle r = 2}$ centreret over polen. Selvom radius signalet er -2, bør vi ignorere det på dette trin.

Billedbetegnelse Plot Polar Koordinater Trin 12

Mål vinklen ${ displaystyle { frac {3 pi} {2}}}$ radianer. Som vinklen

{ displaystyle { frac {3 pi} {2}}}

er positiv, gå mod uret fra polaraksen.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 13

Byg en lige linje til den side, der ligger modsat vinklen. Som i dette eksempel er radius negativ (

{ displaystyle -2}

), skal du starte fra stangen i den modsatte retning af den pågældende vinkel. Det punkt, hvor linjen krydser cirklen, er det, vi leder efter,

{ displaystyle (-2, {3}} {2}}}

Del 4
Konvertering af kartesiske koordinater til polære koordinater

Billedbetegnelse Plot Polar Koordinater Trin 14

Overvej punktet ${ displaystyle P (2,1)}$ i det kartesiske koordinatsystem. Fra begyndelsen tegner du et linjesegment af størrelse 2 langs "x" aksen. Tegn et andet linjesegment fra det punkt til, hvad der er en enhedsafstand på y-aksen. Vi kommer til det punkt (2, 1), som vi kalder P.

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 15

Find afstanden mellem oprindelsen, ${ displaystyle O}$ ,og ${ displaystyle P}$ . Tegn OP-linjen. Størrelsen af det bliver den

{ displaystyle r}

polære koordinater. Det vil også være hypotenuse af et trekant rektangel, som giver dig mulighed for find størrelsen af det ved hjælp af geometrien. For eksempel:

Benene i denne højre trekant er værd 2 og 1.
Ifølge Pythagoras sætning kan vi beregne værdien af hypotenusen: ${ displaystyle { sqrt {2 2 + 1 2} = { sqrt {4 + 1}} {{sqrt {5}}}$ .
Den generelle formel for at finde ${ displaystyle r}$ fra et kartesisk punkt er ${ displaystyle r = { sqrt {x2 + y2}}}$ ,hvor ${ displaystyle x}$ og ${ displaystyle og}$ er værdierne for de kartesiske koordinater henholdsvis "x" og "y".

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 16

Find vinklen mellem ${ displaystyle OP}$ og den positive x-akse. Brug trigonometri at finde værdien:

${ displaystyle tan ( theta) = { frac {modsat} {tilstødende}} = { frac {1} {2}}}$
${ displaystyle so-1 ({ frac {1} {2}}) = theta = 26,56$
Den generelle formel for at finde ${ displaystyle theta}$ det er ${ displaystyle theta = tan ^ {1} ({ frac {y} {x}}}}$ ,hvor ${ displaystyle og}$ og ${ displaystyle x}$ er de kartesiske koordinater henholdsvis "y" og "x".

Billede titel Plot Polar Koordinater Trin 17

Skriv de polære koordinater. Nu har du allerede værdierne for

{ displaystyle r}

{ displaystyle theta}

.De kartesiske koordinater konverteres omtrent til polarkoordinaterne (2.24, 26.6 °) eller mere præcist,

{ displaystyle ({ sqrt {5}}, tan-1 {{1} {2}}}}}

tips

Husk den trigonometriske cirkel og ved hvordan Konverter radianer til grader og det modsatte vil være til stor nytte ved plottning af polære koordinater.
I modsætning til det kartesiske koordinatsystem vil ethvert punkt have uendelige polære koordinater. For eksempel er punktet (1, 2π) lig med punktet (-1, π). De er ligeledes lig med punkterne (1, 4π), (1, 6π), (1, 8π) og så videre. Hver af dem er en tur væk fra den anden, hvilket gør dem alle på samme sted.