Forstå den trigonometriske cyklus

Forstå hvad radian er. Radian er en anden måde at måle en vinkel på. En (1) radian er den vinkel, hvis bue længde er lig med omkredsens radius (radian måling er uafhængig af cirklens størrelse eller dens orientering). Du skal også vide mængden af ​​radianer i en fuld cirkel (360 grader). Da længden af ​​en cirkel er givet af 2πr (hvor "r" er radiusværdien af ​​denne cirkel), har vi 2π radiusmålinger. Da radian er pr. Definition, er vinklen, hvor radiuslængden er lig med buenes længde, vil vi have en komplet radius på 2π radianer.

Lær at konvertere mellem radianer og grader. Ved en fuldstændig drejning i omkreds har vi 2π radianer (eller 2π rad) eller 360 grader (eller 360^den). Forholdet mellem de to foranstaltninger vil således være:

• 2π rad = 360^den
• 1 rad = (360 / 2π)^den
• 1 rad = (180 / π)^den
• 1 radian = (180 / π) grader
• 360^den = 2πrad
• 1^den = (2π / 360) rad
• 1^den = (π / 180) rad
• 1 grad = (π / 180) radianer

Kend de bemærkelsesværdige vinkler. De bemærkelsesværdige vinkler af den trigonometriske cyklus (i radianer) er π / 6, π / 3, π / 4, π / 2, π og alle deres multipler (f.eks. 5π / 6).

Kend og husk de identiteter, hvorfra de seks trigonometriske funktioner er afledt fra enhver vinkel. For at udlede disse identiteter er det først nødvendigt at observere den trigonometriske cyklus. Husk at der er værdier omkring omkredsen. Et punkt på cirklen repræsenterer radianværdien af ​​den vinkel, der dannes mellem cyklusens oprindelse og det punkt. For eksempel svarer punktet π / 2 til punktet på cirklen, hvor radiusen danner en vinkel på π / 2 fra oprindelsen. Nøglen til at bestemme de trigonometriske værdier af en vinkel er at finde koordinaterne for dit punkt. Vi ved, at en vinkel sinus er lig med værdien af ​​det modsatte ben divideret med værdien af ​​hypotenusen. Vi ved også, at hypotenusværdien er lig med 1 (samt radiusværdien). Da et tal divideret med 1 er lig med sig selv og det modsatte ben af ​​trekanten indskrevet i den trigonometriske cyklus svarer til værdien af y, sinusværdien vil svare til værdien af ​​koordinaten y af punktet. Vi følger det samme princip for at nå frem til værdien af ​​cosinusen. Vi ved, at cosinus er lig med værdien af ​​det tilstødende ben divideret med hypotenusen. Da den trigonometriske cyklus hypotetiske værdi altid er lig med 1, og det tilstødende ben svarer til værdien af x, cosinusens værdi vil være lig med koordinaten x af punktet. Udledningen af ​​tangenten er lidt mere kompleks. Vi ved, at vinklen af ​​en vinkel i en rigtig trekant er lig med værdien af ​​det tilstødende ben divideret med værdien af ​​det modsatte ben. Men fordi der ikke er nogen konstante værdier i nævneren som i eksemplerne ovenfor, skal du være lidt mere kreativ. Husk at den modsatte side svarer til koordinaten y og at den tilstødende side er ækvivalent med koordinaten x- Således erstatter vi i formlen, konkluderer vi, at tangentets værdi vil være lig med y / x. For at bestemme de inverse trigonometriske funktioner skal du blot finde den gensidige fraktion af de andre formler. Sammenfattende er de trigonometriske identiteter:

• senθ = y
• cosθ = x
• tgθ = y / x
• cossecθ = 1 / y
• secθ = 1 / x
• cotgθ = x / y

Beregn og husk de seks trigonometriske funktioner af vinklerne på akserne. De er π / 2 og dets multipler (0, π / 2, π, 3π / 2, 2π, osv.). For at bestemme værdien af ​​funktionerne i disse vinkler skal du blot se på, hvor de er placeret. Hvis vinklen er på x, dets sinus vil være 0 og dens cosinus vil være 1 eller -1 (afhængigt af om det er til venstre eller til højre for aksen y). Tilsvarende, hvis vinklen er på aksen y, dets cosinus vil være 0 og dens sinus vil være 1 eller -1 (afhængigt af om den er over eller under aksen x).

Beregn og husk de seks trigonometriske funktioner af den bemærkelsesværdige vinkel π / 6. Start med at markere vinklen π / 6 (30^den) i den trigonometriske cyklus. Vi ved, hvordan man beregner målingerne af siderne af et trekant rektangel med vinkler på 30^den og 60^den. Vi ved også, at den trigonometriske cyklus radius er 1, og at det er trekantens hypotenuse dannet af vinklen i den første kvadrant. Baseret på disse data konkluderer vi, at den mindre (modsatte) side af trekanten måler 1/2, og derfor koordinaten y vil være 1/2 på samme måde som de større (tilstødende) ben måler (√3) / 2, koordinaten x vil være (√3) / 2. Koordinaterne for dette punkt er derfor (√3 / 2, 1/2). Ved at anvende identiteterne vist ovenfor vil vi have:

• synd (π / 6) = 1/2
• cos (π / 6) = (√3) / 2
• tg (π / 6) = 1 / (√3)
• cossec (π / 6) = 2
• sek (π / 6) = 2 / (√3)
• cotg (π / 6) = √3

Beregn og husk de seks trigonometriske funktioner af den bemærkelsesværdige vinkel π / 3. Det π / 3 punkt (60^den) har koordinat x svarende til koordinaten y vinkel π / 6 og koordinere y svarende til koordinaten x af π / 6. Koordinaterne for dette punkt er derfor (1/2, √3 / 2). På denne måde vil de andre trigonometriske funktioner være:

• synd (π / 3) = (√3) / 2
• cos (π / 3) = 1/2
• tg (π / 3) = √3
• cossec (π / 3) = 2 / (√3)
• sek (π / 3) = 2
• cotg (π / 3) = 1 / (√3)

Beregn og husk de seks trigonometriske funktioner af den bemærkelsesværdige vinkel π / 4. Rektangel trekant med to vinkler på 45^den (og med hypotenuse 1) har to lige sider, der måler √2 / 2. Derfor vil de trigonometriske funktioner i vinklen π / 4 i den trigonometriske cyklus være:

• synd (π / 4) = 1 / (√2)
• cos (π / 4) = 1 / (√2)
• tg (π / 4) = 1
• cossec (π / 4) = √2
• sek (π / 4) = √ 2
• cotg (π / 4) = 1

Vet hvilken referencemængde der skal bruges. Du har allerede lært at beregne trigonometriske funktioner i de tre bemærkelsesværdige vinkler - men de tilhører alle den første kvadrant. For at bestemme værdien af ​​funktionen af ​​en flere vinkler af en af ​​dem, er det nødvendigt at opdage, inden hvilken "familie" af vinkler det udgør en del. Vinklerne 2π / 3, 4π / 3 og 5π / 3 tilhører for eksempel familien af ​​vinkel π / 3. Reglen om at vide, hvilken referencevinkel der skal anvendes er at forenkle fraktionen til maksimumet og derefter se på dens nævner.

• Hvis nævneren er lig med 3, tilhører vinklen familien π / 3
• Hvis nævneren er lig med 6, tilhører vinklen familien π / 6
• Hvis nævneren er lig med 2, tilhører vinklen familien π / 2
• Hvis nævneren er lig med 1, tilhører vinklen familien π
• Hvis nævneren er lig med 4, tilhører vinklen familien π / 4