Sådan gør du Implicit Differentiering

I calculus, når du har en ligning for y

indhold

Trin

Metode 1differentierende simple ligninger hurtigt

Video: implicit differentiation

Metode 2brug af avancerede teknikker

Video: use implicit differentiation to find the second derivative of y (y'') (kristakingmath)
Video: differentialregning 7 - differentiering af polynomier
Advarsler

skrevet i form af x (som y = x² -3x), er det nemt at bruge grundlæggende differentieringsteknikker (hvad matematikere kender som "eksplicit differentiering" teknikker) for at finde derivatet. Men i tilfælde af ligninger, der er vanskelige at omarrangere ved at placere y på den ene side af ligestegnet (såsom x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), er en anden metode nødvendig. Ved hjælp af en teknik kaldet implicit differentiering, vil det være nemt at finde derivaterne af flere variable ligninger, så længe du allerede kender det grundlæggende eksplicit differentiering!

trin

Metode 1
Differentierende simple ligninger hurtigt

Video: Implicit differentiation

Differentier vilkårene x som du normalt ville. Når man prøver at differentiere en ligning af flere variabler som f.eks. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, det kan være svært at vide, hvor man skal starte. Heldigvis er det første trin med underforstået differentiering det nemmeste. Til at begynde med, simpelthen differentiere vilkår med x og konstanter på begge sider af ligningen efter reglerne for regelmæssig (eksplicit) differentiering. For nu at ignorere udtrykket y.

Lad os differentiere den foregående simple ligning. Ligningen x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 har to udtryk med x: x². Hvis vi vil differentiere ligningen, skal vi først løse det som følger:
x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19
(Download eksponent "2" i x² at sætte det som en koefficient, eliminere x i -5x og ændre 19 med 0)
2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Billedets titel Do Implicit Differentiation Step 2

Differentier vilkår med y og placere "(dy / dx)" ved siden af hver. I det næste trin skal du simpelthen skelne mellem begreber med y ligesom du gjorde med betingelserne for x. Denne gang tilføjes dog "(dy / dx)" ved siden af hver enkelt på samme måde som du ville tilføje en koefficient. For eksempel, hvis du², det ville blive 2y (dy / dx). For nu, ignorér vilkår, der har x og y.

I vores nuværende eksempel ser ligningen sådan ud: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Vi udfører dette differentierings trin af y på følgende måde:
2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0
(Download eksponent "2" på y² at sætte det som en koefficient, fjern den y i 8y, og sæt et "dy / dx" ved siden af hver).
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Billedets titel Do Implicit Differentiation Trin 3

Brug produktreglen eller kvotientreglen til udtryk, der har både x og y. Løsning af termer med x og y er a lille kompliceret, men hvis du kender produktreglen og kvoten for differentiering, har du ingen problemer. Hvis udtrykket x og y multipliceres, skal du bruge produktreglen ((f × g) `= f` × g + g × f `), erstatter udtrykket x med f og udtrykket y ved g .. På den anden side, hvis betingelserne x og y skilles mellem dem, skal du bruge kvotientreglen ((f / g) `= (g × f` - g `× f) / g²), erstatter det uordnede udtryk med f og udtrykket i nævneren pr. g.

I vores eksempel er 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, vi har kun ét begreb med begge x og y, hvad er 2xy². som x og y multiplicere hinanden, bør vi bruge produktreglen til at differentiere dem som følger:
2xy² = (2x) (y²) - sæt 2x = f og y² = g i (f × g) `= f` × g + g × f `
(f × g) `= (2x)` × (y²) + (2x) × (y²) `
(f × g) `= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))
(f × g) `= 2y² + 4xy (dy / dx)
Når vi tilføjer vores hovedligning igen, får vi det 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Billedets titel Do Implicit Differentiation Trin 4

Isoler (dy / dx). Du er næsten færdig! Nu er alt hvad du behøver at gøre, løse ligningen for (dy / dx). Det ser ud til at være svært, men generelt er det ikke i tankerne, at vilkårene den og b (dy / dx) kan skrives som (a + b) (dy / dx) takket være multiplikationsfordelingen. Denne taktik gør det let at isolere (dy / dx) andre udtryk på modsatte side af parenteserne og opdele dem mellem de vilkår, der ligger i parentes ved siden af (dy / dx).

I vores eksempel kan vi forenkle 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 som følger:
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metode 2
Brug af avancerede teknikker

Billedets titel Do Implicit Differentiation Trin 5

Forbind værdierne (x, y) for at finde (dy / dx) til enhver tid. Tillykke! Du har indirekte differentieret ligningen, hvilket ikke er en nem opgave for begyndere! Ved at bruge denne ligning for at finde hældningen (dy / dx) på et hvilket som helst punkt (x, y) er det så enkelt at forbinde to værdier x og y til højre for ligningen og derefter løse (dy / dx).

Antag for eksempel, at vi vil finde hældningen af punktet (3, -4) for den foregående ligning. For at gøre dette skal vi erstatte 3 med x og -4 pr y, løsningen som følger:
(dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(dy / dx) = (-2 (-4)² - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (-4) + (-4) + 4)
(dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, eller 0,6875.

Billedets titel Do Implicit Differentiation Trin 6

Brug kædelegemet til funktioner inden for andre funktioner. Når det kommer til beregningsproblemer (herunder implicitte differentieringsproblemer), er det meget vigtigt at kende kædereglen. Denne regel siger, at for en funktion F (x) der kan skrives som (f den g) (x) er derivatet af F (x) lig med f `(g (x)) g` (x). For underforståede differentieringsproblemer, der har større vanskeligheder, betyder det, at det er muligt at differentiere flere individuelle "dele" af ligningen og derefter slutte sig til resultatet.

Antag som et simpelt eksempel at finde derivatet af sem (3x² + x). Hvis vi overvejer uden (3x² + x) som "f (x)" og 3x² + x som "g (x)", kan vi finde differentieringen som følger:
f `(g (x)) g` (x)
(uden (3x² + x)) `× (3x² + x) `
cos (3x² + x) × (6x + 1)
(6x + 1) cos (3x² + x)

Billedets titel Do Implicit Differentiation Trin 7

Video: Use implicit differentiation to find the second derivative of y (y'') (KristaKingMath)

Video: differentialregning 7 - Differentiering af polynomier

For ligninger med variabler x, y og z, find (dz / dx) og (dz / dy). Selvom det ikke er almindeligt i basisregne, kan nogle avancerede applikationer kræve at realisere den implicitte differentiering af mere end to variabler. For hver yderligere variabel er det nødvendigt at finde et ekstra derivat med hensyn til x. Hvis du for eksempel arbejder med variablerne x, y og z, skal du finde (dz / dy) og (dz / dx). Vi kan differentiere ligningen med hensyn til x to gange. Første gang vi sætter en (dz / dx) hver gang vi differentierer et udtryk med z og det andet sætter vi en (dz / dy) hver gang vi differentierer en z. Derefter vil det kun være et spørgsmål om at løse (dz / dx) og (dz / dy).

Lad os f.eks. Sige, at vi vil differentiere x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.
Først adskiller vi med hensyn til x og sted (dz / dx). Glem ikke at anvende produktreglen hvis det er relevant!
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x
3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x
(2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5Y⁵z
(dz / dx) = (2x-3x²z² + 5Y⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)
Nu skal vi gøre det samme for (dz / dy)
x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²
(2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z
(dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)