Sådan bestemmes det, om en uendelig serie er konvergent

Uendelige serier er normalt forvirrende. Bare at se, det er meget svært at angive, om en serie konvergerer eller ej. Århundreder siden, ville det tage timer at løse et problem, som essa- i dag heldigvis, takket være det arbejde, som mange matematikere kan regne med praksis tests hjælpe os med at finde ud af, om en række er konvergent eller ej. Det er vigtigt at huske, at disse tests kun tjener til at bestemme seriens karakter (konvergent eller divergerende) og ikke at beregne deres sum. For at lette anvendelsen af sætningerne vil der også være behov for en grundlæggende viden i beregningen.

indhold

Trin
Video: konvergensområde for potensrekker - eks 1
Tips
Advarsler

trin

Udfør den første test. Stillingen fastslår, at hvis den uendelige sum af elementerne i billedsættet af en funktion f (x) konvergerer, har dens grænse tendens til at være nul. Overvej funktionen f (x) = x²- da dens grænse har tendens til uendelig, vil summen af elementerne i dens billedsæt afvige. Overvej nu funktionen f (x) = 1 / x- som i dette tilfælde tendens grænsen til nul, det kan være konvergent. Hvis grænsen for funktionen ikke svarer til nul, kan vi automatisk hævde, at det er en divergerende serie. Det er vigtigt at huske, at hvis grænsen for en funktion er lig med nul, er det ingen garanti for, at den er konvergent: yderligere test er nødvendig for at være sikker.

Billedbetegnelse Bestem, om en uendelig serie overgår trin 2

Find ud af om det er en geometrisk serie. Dette er en meget præcis og pålidelig sætning, så anvend den uden frygt. En geometrisk serie er serien af uendelige udtryk for en geometrisk progression, og hvis formel er r^k, hvor "k" er et reelt tal og "r" har en værdi større end -1 og mindre end 1. Geometriske serier er altid konvergerende. Hvis du vil bestemme summen af denne type serier, skal du bruge formlen 1 / (1-r).

Billede med titlen Skriv en julegave Trin 4

Find ud af om det er en generaliseret harmonisk serie. En generaliseret harmonisk serie er serien af uendelige udtryk i form 1 / (x^p), hvor "x" er et reelt tal. Styreenheden siger, at hvis "p" er større end 1, så konvergerer serien - hvis "p" er mindre end eller lig med 1, er serien forskellig. Funktionen af det første eksempel, f (x) = 1 / x, er derfor divergerende - da 1 / x også kan skrives som 1 / x¹, værdien af p vil være lig med 1. I tilfælde af funktionen f (x) = 1 / x², vi kan se, at det er konvergent, da p er lig med 2 (eksponent for nævneren) og derfor større end 1.

Video: Konvergensområde for potensrekker - eks 1

Hvis ingen af de ovennævnte sætninger virker, prøv at anvende følgende tests. Testene nedenfor skal bruges, hvis du ikke opnår en konklusion efter brug af testene vist ovenfor. Det er ikke let at sige nogen af dem man bør prøve først, men med praksis vil du være i stand til at beslutte bedre. Husk på, at der ikke er nogen forudbestemt metode at vælge imellem.

Sammenligningstest. Overvej to sæt positive udtryk, en (n) og b (n). Hvis den uendelige sum af b (n) er konvergent og a (n) er mindre end b (n) (for en tilstrækkelig stor n), er summen af a (n) også konvergent. Tilsvarende, hvis summen af b (n) er divergerende og a (n) er større end b (n), er summen af a (n) også divergerende. Tag række af funktioner 2 / x og 1 / x som et eksempel. Som vi allerede ved, at 1 / x er divergerende og 2 / x er større end 1 / x, så konkluderer vi, at 2 / x også er divergerende. Denne metode består kort sagt af at bruge en allerede kendt serie til at bestemme, om en anden serie konvergerer eller afviger.
Limit sammenligning test. Hvis en (n) og b (n) er en række positive udtryk, og hvis grænsen for a (n) / b (n) eksisterer og er større end nul, er begge serier samtidig konvergerende eller divergerende. Som i den foregående metode er der brug for en anden serie til sammenligning. Ideen er at vælge en serie, hvis højeste effekt er den samme som den højeste effekt af den oprindelige serie. Hvis problemet giver funktionsserien 1 / (x³+2x + 1), så kan du sammenligne det med for eksempel 1 / (x³).
Integreret test. Overvej en positiv funktion, og fortsatte nedadgående for "x" større end eller lig med 1. Den uendelige serie f (n) er konvergent hvis integralet af f (x) existir- mellem 1 og uendeligt, hvis det er divergent, dette integral findes ikke . Kort sagt, du skal integrere funktionen og bestemme grænsen for funktionen, der går til uendelig. Hvis integralet eksisterer, så er det en serie, der konvergerer, hvis den ikke eksisterer, så den afviger.
Alternativ serie test (test af Leibniz). Hvis en (k)> a (k + 1)> 0 (for en tilstrækkelig stor k) og grænsen for a (n) er lig med nul, så ser serien a (n) * (- 1)ⁿ er konvergent. På en mere forenklet måde, hvis du har en vekslende serie, det vil sige, der ændrer signalet til hvert udtryk, eliminerer du den vekslende del af funktionen og bestemmer grænsen for den del, der er tilbage: hvis grænsen eksisterer, konvergerer serien.
Begrundelse test (kriterium for d`Alembert). Overvej den uendelige serie a (n) og a (n + 1). Lav en (n + 1) / a (n) og bestem grænsen for dette udtryk. Hvis grænsen eksisterer, kan vi nå frem til tre forskellige resultater: hvis grænsen er mindre end 1, er rækken a (n) konvergent - hvis grænsen er større end 1, er rækken a (n) divergerende - hvis Tærsklen er nul, så er testen ufuldstændig.
Dette er de vigtigste test af konvergens. Hvis ingen af dem tillader dig at nå frem til en konklusion, så er det et tegn på, at problemet ikke kan løses, eller at du har foretaget en fejlberegning. Disse metoder kan også anvendes i række magter, serier af Taylor, etc. Det er meget vigtigt at lære at bruge disse tests korrekt, da der ikke er enklere måder at afgøre, om en serie er konvergent eller ej.

tips

Start altid med de tre første metoder (grænsetest, geometrisk serietest og harmonisk serietest), før du starter med de andre. Dette kan spare dig for meget tid og kræfter.

advarsler

Undgå at bruge lommeregner til at løse alle problemer. Det er altid godt at øve aritmetik fra tid til anden.

Del på sociale netværk:

Relaterede