Sådan beregnes Fourier Transform af en funktion

Fourier-transformer kan let forstås, hvis visse trin følges nøje. Disse transformationer er grundlaget for mange dele af den moderne civilisation, herunder mobil kommunikation og digital fotografering, lasere og optik. Fourier transformationer er forgrenede med andre værktøjer som diskrete transformerede onduletas (kendt til anvendelse i JPEG og MPEG), mønstergenkendelse, finansiering, medicinsk billeddannelse og mange andre applikationer.

indhold

Trin
Video: pilot wave theory and quantum realism | space time | pbs digital studios
Video: introduktion maple
Video: integrating (cos x) ^ 4 - even powers of cosine and sine

trin

1
Lær, hvad en periodisk funktion er. En periodisk funktion gentager sin form ved kendte tidsintervaller. Dette er f ( t ) = f ( t + nT), hvor n er et helt tal.
- Disse intervaller kaldes perioder. I det tidligere forhold, T er perioden.
2
3
Lær den grundlæggende ide om Fourier på dit eget sprog.
- Enhver periodisk funktion kan nedbrydes og skrives i form af bestemte mængder af basale sinusformede funktioner med enkle perioder.
- Hver sinusformet funktion har en frekvens af et heltals multipel af basisfrekvensen.
4
5
I ligningen ovenfor står det, at enhver periodisk funktion kan skrives eller udvides som summen af
- en konstant værdi, ½ den₀, også kendt som DC værdi og forskellige sinusformede funktioner. Afhængigt af den oprindelige funktion kan en del af udvidelsen være nul.
- ω₀ er den grundlæggende cirkulære frekvens, der let kan beregnes fra basisperioden T.
- Kun tilbage at beregne den₀ og en formel der skaber alt den₀ og alle b₀. Gør dette ved hjælp af den orthogonale egenskaben af den sinusformede funktion.
6
Lær betydningen af "ortogonale" funktioner. Ortogonale funktioner er vinkelret på hinanden. Det betyder, at hvis du vælger to, f.eks. f ( t ) og g ( t ) af den samlede, så
- ortogonalitet
- Sinusformede funktioner er adskillige ortogonale funktioner.
- Sammenlign dette med den grundlæggende forestilling om vinkelrette vektorer, hvor deres skalære produkt er lig med nul. Skalært produkt er summen af produkterne af lige komponenter i to vektorer. I dette tilfælde skal i stedet for summen beregnes en integreret.
7
Kend forskellen mellem en "vektor" og en "fasor".
- En vektor tager et punkt i en lige linje til et andet punkt.
- En fasor involverer en vektor omkring et punkt med et cirkulært frekvens hegn ω. En fasor er en roterende vektor.
8
Bemærk, at når en fast længde vektor vender omkring et punkt, at dens projektion på den reelle akse ændres fra en maksimal værdi gradvist og derefter nul til en negativ maksimumværdi, og derefter tilbage til nul og den maksimale positive værdi.
- Video: Pilot Wave Theory and Quantum Realism | Space Time | PBS Digital Studios
9
Projektionslængden af en roterende vektor - skygget på den imaginære akse - ændrer sinusformet.
Video: introduktion maple
10
Konkluderer, at en sinusformet funktion kan skrives som en fasor, og på den måde er det lettere at håndtere Fourier-serien. Sammenlign resultatet med sinusformet form. Alle bekymringer om den₀den_nb_n eksisterer ikke længere. Der er kun en faktor den_k som skal beregnes. Beregningerne er lavet af en simpel integrering af f ( t ) som får alle koefficienterne på én gang. Nu kokken nævnt tidligere gør enhver form for kage med kun én ingrediens.
11
Fortolk udvidelsen for f ( t ). Hvad er der ukendt i ekspansion?
- Du skal beregne et uendeligt antal den_k`S.
- Alle den_ks kan nemt beregnes ved at integrere f ( t ) hvilket resulterer i alle termer.
  - I stedet for "alle vilkår" er notationen {a_k } bruges.
  - {a_k } er kendt som f ( t ).
- f ( t ) er faktisk syntesen af uendelige tal af fasorer med forskellige længder roterende med harmoniske frekvenser i forhold til ω₀ af f ( t ) i begge retninger, med uret og mod uret siden k cykler gennem de positive og negative heltal.
12
Se på parret af formler som en transformation, snarere end som en serie af ekspansion. Når du har f ( t ), du har den_k. Omvendt, hvornår den_k, man opnår f ( t ). Værdier af den_k er forvandlet fra f ( t ). Værdien af f ( t ) er den inverse transformation af den_k`S. Dette er skrevet som følger,
13
Bemærk. Det ser ud til at der er to domæner. f ( t ) er i tidernes rige men_ks er i realm af heltal. Fireier-ekspansion forvandler således et domæne til et andet og omvendt.
- Af denne grund betragtes det som en transformation af kontinuerlig tid.
- Folk, der studerer bølger, bruger et oscilloskop til at observere den kontinuerlige tidsbølge og et spektrum for at analysere de pågældende bunds linjer eller spektre.
14
Overhold det hyppigste eksempel. Et rektangulært vindue, for eksempel, der åbner og lukker regelmæssigt. Eller et tidsbestemt stempel arbejder regelmæssigt. Det er en sekvens af pulser af fast varighed.
Video: Integrating (cos x) ^ 4 - Even Powers of Cosine and Sine
15
- Dette er det nemmeste eksempel at beregne ved hjælp af K-12 eller tilsvarende beregningskompetencer, da det interne integral f ( t ) er lig med en i en del og lig med nul i andre, og du skal beregne integralet af en eksponentiel, der er lig med sig selv, uafhængig af koefficienten. På dette niveau er du bekendt med at konvertere komplekse eksponenter til en sinusformet. Resultatet er en funktion sinc. Simpelthen sætte, sinc ( x ) = Sen ( x ) / x. Det skalerer en sinusformet funktion i sin vinkel, svarende til procentdelen.
- Synkroniser Funktion som konvolutten
  Tegn konvolutten fra den_k .
- Tegn konvolutten fra |den_k | at sætte pris på faldet i dine spring.
- Hver kurve i funktionen sinc er fyldt med en vis mængde spektrumlinjer.
- At gøre hver puls af strømmen smalere bevirker, at antallet af linjer i spektret øges og vises tykkere og giver indtryk af, at spektret faktisk er en funktion sinc og ikke diskret.
16
Bemærk, at du nu ser på Fourier-seriens udvidelse af en periodisk funktion som en transformation af to domæner. Det er fortsat at se, hvad transformationen af en ikke-periodisk funktion.
17
Bekræft din forventning om, at udvidelsen af en ikke-periodisk funktion vil være i form af en integreret snarere end summation.
- Du er korrekt, at denne Fourier integral kontrasterer med Fourier serien.
18
Således kan Fourier-transformen til "kontinuerlig tid" -funktioner være en Fourier-serie eller integreret.
19
Overvej en enkelt rektangulær puls. Du ser pulsen, hvis et rektangulært vindue åbnes og kun lukkes en gang. Eller hvis en stepper motor tænder og slukker.
20