Sådan skrives en eksponentiel funktion givet en sats og en initialværdi

Overvej følgende eksempel. Antag at en prøve på 500 gram af en carbonisotop har en halveringstid på 50 år (halveringstiden er den tid det tager for materialet at forfalde med 50%).

Kend grundformularen. Formen for en eksponentiel ligning er f (t) = ae^kt hvor a er den indledende værdi, og er grundlaget, k er den kontinuerlige vækstrate og t er tidsvariablen.

Udskift startværdien. Den eneste værdi, du har brug for i denne ligning, er den oprindelige vækstrate. Udskift derefter den indledende værdi for at finde f (t) = 500e^kt

Find hastigheden af ​​løbende vækst. Antallet af kontinuerlig vækst er, hvor hurtigt diagrammet ændrer sig på et givet tidspunkt. Du ved at i 50 år vil prøven falde med 250 gram. Dette kan betragtes som et punkt på diagrammet, som du kan erstatte. Så er t 50. Erstat denne værdi for at finde f (50) = 500e^50k. Du ved også, at f (50) = 250, så erstat 250 for f (50) på venstre side af ligningen for at få den eksponentielle ligning 250 = 500e^50k. For at løse ligningen skal du først dividere begge sider med 500 for at få: 1/2 = e^50k. Så tag den naturlige logaritme på begge sider, og få: ln (1/2) = ln (e^50k. Brug logaritmerne til at tage eksponenten ud af det naturlige logaritme argument og multiplicere det ved loggen. Resultatet vil være ln (1/2) = 50k (ln (e)). Husk at ln er det samme som log_og og at logaritmernes egenskaber siger, at hvis logaritmens basis og argument er ens, er værdien 1. Derfor er ln (e) = 1. Så forenkler ligningen ln (1/2) = 50k, og hvis du deler med 50, vil du finde at k = (ln (1/2)) / 50. Brug din regnemaskine til at finde decimaltilpasningen af ​​k som ca. -0,01386. Bemærk, at denne værdi er negativ. Hvis den fortsatte vækstrate er negativ, har du et eksponentielt henfald, hvis det er positivt, har du eksponentiel vækst.