Sådan bruges Rule of 72

• Anvendelsen af Felix Corollary for reglen af ​​72 bruges til at tilnærme den fremtidige værdi af en annuitet (en række regelmæssige betalinger). Det bekræfter, at den fremtidige værdi af en livrente, hvis rentesats og antallet af multiplicerede betalinger øger op til 72, kan være ca. summen af ​​betalinger multipliceret med 1,5. For eksempel vil 12 periodiske betalinger på $ 1000, der vokser 6% pr. Periode, være ca. $ 18.000 efter sidste periode. Dette er en anvendelse af Felix Corollary til artikel 72, som 6 (procent rente) gange 12 (antallet af betalinger) er lig med 72, så værdien af ​​den årlige ydelse er ca. 1,5 multipliceret med 12 gange $ 1000.
• Værdien 72 vælges som en passende tællerindstilling , da den har mange mindre divisorerne: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, og 12. Det er en god tilnærmelse til den årlige sammensætning, og sammensætninger med typiske satser (fra 6% til 10%). Tilnærmelserne er mindre præcise med højere rentesatser.
• Lad regel 72 arbejde for dig begynder at gemme nu. Med en vækst på 8% pa (den omtrentlige afkast på aktiemarkedet), vil du fordoble dine penge i ni år (8. 9 = 72), firdoble dine penge i 18 år, og har 16 gange Værdien af ​​dine penge i 36 år.

afledning

Sammensætningsperioder

1. I sammensætningsperioder, FV = PV (1 + r) ^ T, hvor FV = fremtidig værdi, PV = nutidsværdi, r = væksthastighed, T = tid.
2. Hvis pengene fordobles, FV = 2. PV- derfor 2PV = PV (1 + r) ^ T eller 2 = (1 + r) ^ T, medens nutidsværdien er forskellig fra nul.
3. Løs T med de naturlige logaritmer på begge sider, omarrangere for at få T = ln (2) / ln (1 + r).
4. Taylorserien for ln (1 + r) omkring 0 er r - r²/ 2 + r³/ 3 - ... For små værdier af r er bidragene fra de større udtryk små og udtrykket nærmer sig r, således at: t = ln (2) / r.
5. Bemærk at ln (2) ≅ 0.693, således at T = 0.693 / r (eller T = 69.3 / R, der udtrykker renten som en procentdel R på 0-100%), hvilket er reglen på 69,3 . Andre tal, som f.eks. 69, 70 og 72, bruges til at beregne lettere.

Kontinuerlig sammensætning

1. For periodiske sammensætninger med flere sammensætninger pr. År gives den fremtidige værdi af FV = PV (1 + r / n) ^ nT, hvor FV = fremtidig værdi PV = nutidsværdi, r = væksthastighed, T = tid, Antal sammensætningsperioder per år. For kontinuerlig sammensætning nærmer n sig uendelighed. Ved anvendelse af definitionen af ​​e = lim (1 + 1 / r) ^ n med n nærmer sig uendelighed, bliver udtrykket: FV = PV og ^ (rT).
2. Hvis penge fordobles, FV = 2 * PV, kun 2PV = PV og ^ (rT) eller 2 = e ^ (rT), i betragtning af nutidsværdien bortset fra nul.
3. Løs T med naturlige logaritme til begge sider for at omarrangere T = ln (2) / 69,3 = r / R (hvor R = 100r at udtrykke vækstraten i procent). Dette er reglen om 69,3.

• For kontinuerlig sammensætning giver nummer 69.3 (eller ca. 69) mere præcise resultater, da ln (2) er ca. 69,3% og Rn. t = ln (2), hvor R = væksthastighed (eller henfald), T = duplikat (eller halveret) og ln (2) er den naturlige logaritme på 2,70, som også kan anvendes som en tilnærmelse til kontinuerlig eller daglig sammensætning (som er tæt på kontinuerlig) for at lette beregningen. Disse variationer er kendt som regel af 69.3, regel af 69 eller regel af 70.
  • En lignende præcisionsjustering for regel af 69.3 bruges til høje hastigheder med daglig sammensætning: T = (69,3 + R / 3) / R.
• For at estimere fordoblingstiden for de højeste satser skal du justere 72 ved at tilføje 1 for hver 3 procent over 8%. Det er, T = [72 + (R - 8%) / 3] / A. Hvis f.eks renten er 32%, den tid det tager at kopiere en vis mængde penge er T = [72 + (32-8) / 3] / 32 = 2,5 år. Bemærk at 80 bruges her, i stedet for 72, hvilket ville have givet 2,25 år for fordoblingstiden.
• Her er tabellen med det antal år der kræves for at fordoble en given sum penge ved forskellige renter og sammenligningen af ​​tilnærmede værdier i forskellige regler

• den anden ordens regel af Eckart-McHale, eller E-M-regel, bringer en multiplikativ korrektion til reglerne 69.3 eller 70 (men ikke til 72) for bedre præcision af de højere rentesatser. For at beregne E-M-tilnærmelsen multipliceres resultatet af reglen på 69,3 (eller 70) med 200 / (200-R), dvs. T = (69,3 / R). (200 / (200-R)). For eksempel, hvis renten er 18%, siger reglen på 69,3, at t = 3,85 år. E-M Rule multiplicerer dette med 200 / (200-18), hvilket giver en fordoblingstid på 4,23 år, hvilket bedst svarer til den faktiske fordoblingstid, der er 4,19 år med den hastighed.
  • Padés tredje række regel bringer en endnu bedre tilnærmelse ved hjælp af korrektionsfaktoren (600 + 4R) / (600 + R), dvs. T = (69,3 / R). (600 + 4R) / (600 + R)). Hvis rentesatsen er 18%, giver Pades tredje ordensregel ca. T = 4,19 år.