Sådan beregnes Laplace Transform af en funktion

1. 1
   Overvej "Laplace Transforms" - dels er det et system til konvertering af et afhængigt domænes relationer til et sæt af ligninger udtrykt i Laplace operatør s. Så løsningen på det oprindelige problem gøres ved "komplekse algebraiske manipulationer" inden for domænet `s` eller Laplace.

   • Anvendelse af Laplace Transforms er analog med at bruge logaritmer for at forenkle visse typer matematiske operationer. Tager logaritmerne, bliver tallene omdannet til magt på 10 eller e (naturlige logaritmer). Som et resultat af disse transformationer erstattes multiplikationer og matematiske divisioner med henholdsvis tilføjelser og subtraktioner. "
2. 2
   "Tilsvarende påføring Laplace-transformationen for at analysere systemer, der kan beskrives som lineær," tidsmæssige differentialligninger "overvinde nogle af de komplekse stødt i opløsningerne af disse ligninger tidsdomænet", og også:

   • Laplace-transformationen indebærer at integrere en variabel af tid f (t) fra 0 til uendelighed og multiplicere denne variabel med "e".^-st.
   • f (t) er den anvendte funktion, som skal defineres for alle positive værdier af t.
   • s er en kompleks algebraisk variabel defineret af s = a + jω, hvor j = sqrt (-1), så vil det bruge imaginære tal.
     • Symbolet i (j i elektroteknik) bruges til at repræsentere √ -1. Så, for eksempel, √ (-4) = 2i. Nummeret kaldet jeg, eller 1i eller xi kaldes udelukkende fra imaginære tal.
   • En brug for det komplekse plan er kendt som s-plane, og bruges til at visualisere rødderne af en ligning, der grafisk beskriver et systems adfærd (de karakteristiske ligninger). Ligningen udtrykkes normalt som et polynom i parametrene `s` af en Laplace transform. Dvs. planens navn.
     • De komplekse planlagte diagrammer fra Argand viser z-planet, hvor z = x + iy og kan også bruge z-transform og laplace. I matematik og signalbehandling konverterer z-transformen et diskret tidsdomænesignal, som er en sekvens af reelle eller imaginære tal, til en kompleks repræsentation af et frekvensdomæne. Det kan overvejes med en tilsvarende diskret tidstransformation. Denne lighed udforskes i teorien om "scalar time calculation". På trods af de bilinære transformationer er kompleksets fly (af Laplace-transformen) kortlagt i et kompleks-z-plan (af z-transformen).
       • `= A + ib Z, r = e ^ (i theta) = den reelle del af z, b = imaginære del af z, z = r modul theta = z argument, b er reelle tal. "Selvom denne mapping er ulineær, er det nyttigt kortlægger jw-akseplanet er i plane z enheder cirkel dvs. flyet er på jw" konvergensregion af Laplace transformation. "

1. 1
   Fortsæt integration ved hjælp af en række integrationer. Afhængigt af din funktion, f (t), skal du muligvis gøre split integration flere gange før opnåelse af et resultat.

   Hvis du beregner den bilaterale transformation, erstattes grænsen 0 for -∞

2. Video: Eksempel på bestemmelse af linjens ligning

   2
   Sæt grænserne for dit resultat. Skriv ligningen erstatter T af uendelighed, og derefter skrive det negative af den samme ligning, der erstatter t med 0 Forenkle dette så meget som du kan, huske følgende:
3. 3
   Tjek dit svar ved hjælp af Laplace transform tabellen.

En diskontinuerlig funktion kan skrives som:

, hvor c er en konstant og a og b kan være enten konstanter eller funktioner af t. Selv om dette eksempel kun har to dele, kan det være et endeligt antal.

1. 1
   Skriv summen af ​​Laplace Transform for hver del af den diskontinuerlige funktion ved hjælp af de angivne grænser i stedet for den sædvanlige 0 til ∞.

   Video: Partial fraction expansion 3 | Partial fraction expansion | Precalculus | Khan Academy
2. 2
   Beregn Laplace-transformerne som vist ovenfor. Husk at erstatte de korrekte grænser, i stedet for 0 og ∞.

   Dette eksempel antager a og b konstanter, resultatet bliver mere kompliceret, hvis de er funktioner af t

   .
3. 3
   Forenkle resultatet så meget som muligt.

   Video: Finding the determinant of a 4x4 matrix

   Dette eksempel antager a og b konstanter, resultatet bliver mere kompliceret, hvis de er funktioner af t

   .

1. 1
   Prøv at udlede en Laplace Transform fra en funktion, hvis det ligner en eller flere andre funktioner, som du kender transformationen til. For eksempel:

   • Transformationen af ​​en lineær kombination af funktioner er den samme lineære kombination af Laplace-transformationer.
   • Laplace-transformationen af ​​f (t) er lig med -F `(s), hvor F (s) er Laplace-transformationen af ​​f (t) og F` (s) er derivatet
   • Laplace-transformationen af ​​f `(t) er lig med sF (s) -f (0).
   • Laplace-transformationen af ​​e ^ (at) f (t) er lig med F (s-a).
   • Laplace-transformationen af ​​en konvolvering af to funktioner f og g er lig med produktet af dets transformationer.
2. 2
   Brug de forskellige egenskaber ved de kendte Laplace-transformer til at kunne udlede dem ved hjælp af ovenstående trin. Det er også nyttigt at kende betydningen bag hjemsted.
3. 3
   Undersøg denne generelle sætning, "Laplace Transformen af ​​f (t) er lig med funktionen F of s" og skriv: laplace {f (t)} = F (s)

   • Tilsvarende vil Laplace-transformationen af ​​en funktion g (t) blive skrevet som: laplace {g (t)} = G (s)