Sådan bestemmes koordinaterne for et infleksionspunkt for en funktion

I differencelækningen er bøjningspunktet et punkt på en kurve, hvor krumningen ændrer signalet (fra plus til mindre og fra mindre til mere). Dette er et koncept anvendt i forskellige discipliner (herunder teknik, økonomi og statistik) til at bestemme datavariationer. Hvis du har brug for at lære at finde bøjningspunkterne for en kurve, skal du følge nedenstående trin.

indhold

Trin

Del 1forstå de grundlæggende begreber
Del 2bestem derivaterne af funktionen
Del 3bestem bøjningspunktet

Tips

trin

Del 1
Forstå de grundlæggende begreber

Forstå hvad en konkav funktion er. For at forstå, hvad bøjningspunkter er, skal du først vide, hvordan man skelner en konkav funktion fra en konveks funktion. En konkav funktion er en funktion, for hvilken der ikke er noget segment af en linje, der knytter to punkter i din graf, og det er over det.

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 2

Forstå hvad en konveks funktion er. En konvekse funktion er i det væsentlige modsat af en konkav funktion: For denne type funktion er der intet segment af en linje, der knytter to punkter i sin graf og ligger under den.

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 3

Forstå hvad der er roden til en funktion. Roten af en funktion er det punkt, hvor det er lig med nul.

I grafen for en funktion er rødderne punkterne i grafen, der krydser aksen af abscissen (x-akse).

Del 2
Bestem derivaterne af funktionen

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 4

Beregn det første derivat af funktionen. Før du finder et bøjningspunkt for en given funktion, skal du først afgøre derivaterne af funktionen. Metoden til bestemmelse af derivatet af en algebraisk funktion kan nemt findes i enhver Calculus-lærebog (du skal lære at udlede, inden du fortsætter til de næste trin). Den første derivat af en funktion er repræsenteret af f `(x). Til funktioner i formatet axp + bx (p-1) + cx + d, det første derivat vil være apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.

Antag for eksempel, at du skal bestemme infleksionspunktet for funktionen f (x) = x³ +2x - 1. For at beregne den første afledning af denne funktion, skal du gøre følgende:

f `(x) = (x³ +2x - 1) `= (x³) `+ (2x)` - (1) `= 3 * x² + 2 + 0 = 3x² + 2.

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 5

Beregn det andet derivat af funktionen. Det andet derivat af funktionen er det første derivat af den første derivat af funktionen og er repræsenteret af f "(x).

Fortsæt ovenstående eksempel, gør følgende for at bestemme det andet derivat af funktionen:

f "(x) = (3x² + 2) = 2 * 3 * x + 0 = 6x.

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 6

Er lig med det andet derivat til nul. Udligne udtrykket opnået som det andet derivat ved nul og løse ligningen. Resultatet af ligningen vil være et muligt bøjningspunkt.

I eksemplet ovenfor vil beregningen ske som følger:

f "(x) = 0
6x = 0
x = 0.

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 7

Beregn det tredje derivat af funktionen. For at være sikker på at den fundet løsning faktisk er et bøjningspunkt, find den tredje derivat af funktionen repræsenteret af f `` `(x): for dette udledes den anden derivat af funktionen.

I forlængelse af eksemplet har vi:

f `` `(x) = (6x)` = 6.

Del 3
Bestem bøjningspunktet

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 8

Evaluer den tredje derivat af funktionen. Grundreglen for at identificere et muligt bøjningspunkt er "hvis den tredje derivat af en funktion er ikke-null, dvs. f `` `(x) ≠ 0, så er det mulige bøjningspunkt faktisk et bøjningspunkt ". Tjek det tredje derivat: Hvis det ikke er lige nul, er kandidaten, der er et bøjningspunkt (opnået ved at løse ligningen, der repræsenterer det andet derivat) faktisk et bøjningspunkt.

I det ovenstående eksempel er det tredje derivat 6, ikke 0 - derfor er kandidaten, der er bøjningspunkt, virkelig et bøjningspunkt.

Billedbetegnelse Find infleksionspunkter Trin 9

Bestem bøjningspunktet. Koblingspunktets koordinater er repræsenteret af det ordnede par (x, f (x)), hvor x repræsenterer værdien opnået ved at løse ligningen af det andet derivat og f (x) repræsenterer værdien af funktionen ved bøjningspunktet.

I ovenstående eksempel var værdien opnået ved at matche det andet derivat til nul x = 0. Nu skal vi beregne værdien af f (0) for at bestemme koordinaterne. Når vi erstatter værdien af x, har vi:

f (0) = 0³ +2 * 0 - 1 = -1.