Sådan tegner du en rationel funktion

Find den vandrette asymptote. Divide nævneren i tælleren for at bestemme opførelsen af y for store absolutte værdier af x. I nærværende eksempel viser divisionen at y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). For store positive eller negative værdier af x, 17 / (8x + 4) nærmer sig nul, og grafen nærmer sig linjen y = (1/2)x - (7/4). Brug en stiplede eller stiplede linje, graf den linje.

• Hvis grad af tælleren er mindre end graden af ​​nævneren, der er ingen division, der skal foretages, og asymptoten er y = 0.
• hvis grad (N) = grad (D), asymptoten er en vandret linje i værdien af ​​de primære koefficienter.
• hvis grad (N) = grad (D) + 1, asymptoten er en linje, hvis krumning repræsenterer værdien af ​​de primære koefficienter.
• hvis grad (N)> grad (D) + 1, for store værdier af |x|, y kommer hurtigt til positiv eller negativ uendelighed som et kvadratisk, kubisk eller højere effektpolynom. I dette tilfælde er det sandsynligvis ikke værd at udforme divisionskvoten.

Find nuller. En rationel funktion har et nul, når dens tæller er nul, så definer N (x) = 0. I eksemplet, 2x² - 6x + 5 = 0. Den kvadratiske diskriminant er b² - 4ac = 6² - 4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. Da diskriminanten er negativ, N (x) og følgelig f (x), har ingen reelle rødder. Grafen vil aldrig krydse x. Hvis der findes nogle nuller, skal du tilføje disse punkter til grafen.

Find de lodrette asymptoter. Den lodrette asymptote opstår, når nævneren er nul. definere 4x + 2 = 0 resulterer i den vertikale linje x = -1/2. Tegn hver lodret asymptote med en glat eller prikket linie. Hvis nogen værdi af x definerer N (x) = 0 og D (x) = 0, der kan eller ikke være en lodret asymptote. Dette er et sjældent tilfælde - se vejledningen om, hvordan man håndterer denne begivenhed.

Bemærk resten af ​​splittelsen fra trin 2. Hvornår vil det være positivt, negativt eller lig med nul? I eksemplet er resten tælleren 17, altid positivt tal. Nævneren, 4x + 2, er positiv til højre for den vertikale asymptote og negativ til venstre. Dette betyder, at grafen nærmer sig den lineære asymptote opad ved højere positive værdier af x, og nedad, i større negative værdier af x. Siden 17 / (8x + 4) kan aldrig være nul, skærer denne graf aldrig linjen y = (1/2)x - (7/4). Tilføj ikke nogen oplysninger til diagrammet nu, men noter konklusionerne til senere.

Find de lokale ekstremer. En lokal ekstreme kan ske når N `(x) D (x) -N (x) D `(x) = 0. I eksemplet, N `(x) = 4x - 6 og D `(x) = 4. N `(x) D (x) -N (x) D `(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x² - 6x + 5) * 4 = 0. Udvidelse, kombination af udtryk og opdeling af 4 lader x² + x - 4 = 0. Den kvadratiske formel viser rødder tæt på x = 3/2 og x = -5/2 - De adskiller sig med ca. 0,06 fra de nøjagtige værdier, men denne graf bør ikke være tilstrækkelig nok til at bekymre sig om dette detaljeringsniveau. At vælge en rationel tilgang gør det næste skridt lettere.

Find værdierne y af hver lokal ende. Indtast værdier x fra de foregående trin tilbage til den oprindelige rationelle funktion for at finde værdierne y korrespondenter. I eksemplet, f (3/2) = 1/16 og f (-5/2) = -65/16. Tilføj disse punkter, (3/2, 1/16) og (-5/2, -65/16) til grafen. Siden vi afrundede det foregående trin repræsenterer disse ikke de nøjagtige minimums- og maksimumspunkter, men er ret tætte - vi ved det (3/2, 1/16) er ret tæt på det lokale minimum. Fra trin 3 ved vi det y vil altid være positiv, når x > -1/2 og vi finder en værdi så lille som 1/16, det vil sige, i det mindste i det foreliggende tilfælde, vil fejlen sandsynligvis være mindre end bredden af ​​linjen.