Hastighed defineres som acceleration af et objekt i en bestemt retning. I mange almindelige situationer bruger vi ligningen v = s / t, hvor v er lig med hastighed, s er lig med objektets totale forskydning fra dets oprindelsessted, og t er lig med den forløbne tid. Teknisk repræsenterer resultatet af ligningen dog kun den "gennemsnitlige" hastighed i løbet af kurset. Ved hjælp af beregningen er det muligt at finde objektets hastighed til enhver tid under kurset. Dette kaldes "øjeblikkelig hastighed", som er defineret ved ligning v = (ds) / (dt)
, eller med andre ord ligningen af derivatet af gennemsnitshastigheden af en genstand.
trin
Del 1 Beregn øjeblikkelig hastighed
1
Start med en ligning for hastighed i forhold til forskydning. For at opnå en øjebliks øjeblikkelige hastighed har vi først brug for en ligning, der viser objektets position (i forhold til forskydning) på et bestemt tidspunkt. Det betyder, at ligningen skal have variablen s alene på den ene side og t på den anden side, men ikke nødvendigvis alene, sådan:
s = -1,5 t2 + 10t + 4
I denne ligning er variablerne:
Forskydning = s . Afstanden dækket af objektet fra startpositionen. Hvis en genstand f.eks. Bevæger sig 10 meter frem og 7 meter bagud, er den samlede forskydning 10-7 = 3 meter (og ikke 10 + 7 = 17 meter).
Tid = t . Selvforklarende. Normalt målt i sekunder.
2
Beregn derivatet af ligningen. den derivat af en ligning er bare en anden ligning, der viser din kurve til enhver tid. For at finde derivatet af forskydningsformlen differentieres funktionen med denne generelle regel for at finde derivater: Hvis y = a * xn, derivat = a * n * xn-1. Denne regel gælder for hvert udtryk på siden af ligningen, der indeholder t.
Med andre ord, start fra ligningens side med t, fra venstre mod højre. Hver gang du finder en t, subtrahere 1 fra eksponenten og multiplicere hele sigtet af den oprindelige eksponent. Eventuelle konstante udtryk (vilkår, der ikke indeholder t) forsvinder, da de multipliceres med 0. Denne proces er ikke så vanskelig som det ser ud - se ligningen ovenfor afledt som et eksempel:
udskifte s af ds / dt. For at vise, at den nye ligning er et derivat af den foregående, skal du erstatte s med notationen ds / dt. Teknisk betyder notation "derivatet af s om t". En enklere måde at forstå dette på er at tro, at ds / dt er bare kurven for et givet punkt i den første ligning. For eksempel at finde linjekurven lavet af s = -1,5t2 + 10t + 4 ved t = 5, tilskrives den kun 5 a t i dets derivat.
I dette eksempel skal den færdige ligning se sådan ud:
ds / dt = -3t + 10
4
Tildel en værdi til t i den nye ligning for at finde den øjeblikkelige hastighed. Efter opnåelse af den afledte ligning er det nemt at finde øjeblikkelig hastighed til enhver tid. Alt du skal gøre er at vælge en værdi for t og tildele den i den afledte ligning. For eksempel, hvis du vil finde den øjeblikkelige hastighed med t = 5, skal du bare erstatte t med 5 i derivatet ds / dt = -3t + 10. Løs derefter bare ligningen:
Bemærk at måleren / anden måleenhed blev brugt. Da vi beskæftiger os med forskydning i forhold til målere, tid i sekunder og hastighed i almindelighed kun er forskydning over tid, er målingen hensigtsmæssig.
Del 2 Anslå øjeblikkelig hastighed i en graf
1
Grav forskydningen af objektet over tid. I ovenstående afsnit blev det nævnt, at derivaterne ikke er mere end formler, der hjælper med at finde kurven på et hvilket som helst tidspunkt i ligningen, som den refererer til. Faktisk, når der repræsenterer forskydning af et objekt med en linje i en graf linjekurven på et givet punkt er lig med objektets øjeblikkelige hastighed på det tidspunkt.
For at lave diagrammet skal du bruge x-aksen til at repræsentere tiden og y-aksen for at repræsentere forskydningen. derefter, Fordel punkterne tildele værdier til t i forskydningsligningen, finde værdierne s, og markere t, s (x, y) på grafen.
Bemærk at grafen kan strække sig under x-aksen. Hvis linjen, der repræsenterer objektets bevægelse, strækker sig under x-aksen, repræsenterer dette objektet, der bevæger sig tilbage, hvorfra det startede. Generelt vil grafen ikke strække sig bag y-aksen - vi måler normalt ikke hastigheden på objekter, der bevæger sig baglæns i tiden!
2
Vælg et punkt P og et punkt Q nær dette i linjen. For at finde kurven ved et punkt P bruges et trick kaldet "calculate the limit". Beregning af grænsen indebærer at vælge to punkter (P og Q) på den buede linje og finde kurven for linjen, der forbinder de to punkter igen og igen, mens afstanden mellem P q Q falder.
Lad os sige, at forskydningslinjen indeholder punkterne (1,3) og (4,7). I dette tilfælde, hvis du vil finde kurven i (1.3), skal du definere (1.3) = P og (4,7) = Q.
3
Find kurven mellem P og Q. Kurven mellem P og Q er forskellen på y-værdierne for P og Q på forskellen mellem x-værdierne for P og Q. Med andre ord, H = (yQ - yP) / (xQ - xP), hvor H er kurven mellem to punkter. I det foregående eksempel er kurven mellem P og Q:
H = (yQ - yP) / (xQ - xP) H = (7-3) / (4-1) H = (4) / (3) = 1,33
4
Gentag flere gange ved at flytte Q tættere på P. Målet er at mindske afstanden mellem Q og P mere og mere, indtil du kommer tæt på et enkelt punkt. Jo mindre afstanden mellem Q og P er, desto tættere er dens små segmenters kurve til kurven for punkt P. Lad os gøre dette et par gange for eksempelligningen, ved hjælp af punkter (2-4,8), (1,5 -3,95) og (1,25-3,49) for Q og det oprindelige punkt (1,3) for P:
Q = (2-4,8): H = (4,8-3) / (2-1) H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5-3,95): H = (3,95-3) / (1,5-1) H = (0,95) / (0,5) = 1.9
Lav et skøn over kurven for et uendeligt lille interval i linjen. Når Q nærmer sig P, kommer H nærmere tæt på kurven ved punkt P. Endelig vil H med et uendeligt lille interval være lig med kurven ved P. Da det ikke er muligt at måle eller beregne dette interval, er det kun estimeret P-kurven, når det bliver tydeligt fra de testede punkter.
I eksemplet blev der opnået Q, tættere på P, værdier 1,8, 1,9 og 1,96 for H. Da disse tal synes at ligne ca. 2, kan det siges at 2 er et godt skøn for kurven i P.
Husk at kurven på et givet punkt i en linje er det samme som derivatet af linjekvationen på det tidspunkt. Da linien viser forskydningen af objektet over tid, og som det ses i afsnittet ovenfor, er den øjeblikkelige hastighed af en genstand derivatet af dens forskydning på et givet punkt, det kan også siges at 2 meter / sekund er et godt skøn for den øjeblikkelige hastighed ved t = 1.
Del 3 Eksempler på problemer
1
Find den øjeblikkelige hastighed ved t = 4, givet forskydningsligningen s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9. Dette er det samme som eksemplet i første afsnit, med undtagelse af at være en kubisk snarere end kvadratisk ligning, og derefter løst på samme måde.
Brug et grafisk estimat til at finde den øjeblikkelige hastighed ved (1,3) for forskydningsligningen s = 4t2 - t. Til dette problem bruges (1.3) som punktet P, men det er nødvendigt at finde nogle andre punkter i nærheden for at bruge som punkter Q. Så er det kun et spørgsmål om at finde H-værdierne og lave et estimat.
Først finder vi punkterne Q ved t = 2, 1,5, 1,1 og 1,01.
s = 4t2 - t
t = 2: s = 4 (2)2 - (2) 4 (4) - 2 = 16-2 = 14, så Q = (2,14)
t = 1,5: s = 4 (1,5)2 - (1.5) 4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, derefter Q = (1,5-7,5)
t = 1,1: s = 4 (1,1)2 - (1.1) 4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, derefter Q = (1,1-3,74)
t = 1,01: s = 4 (1,01)2 - (1,01) 4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, derefter Q = (1,01-3,0704)
Så finder vi værdierne H:
Q = (2,14): H = (14-3) / (2-1) H = (11) / (1) = 11
Video: reaktionshastighed
Q = (1,5-7,5): H = (7,5-3) / (1,5-1) H = (4,5) / (0,5) = 9
Q = (1,1-3,74): H = (3,74-3) / (1,1-1) H = (0,74) / (0,1) = 7.3
Q = (1,01-3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1) H = (0,0704) / (0,01) = 7,04
Da H-værdierne synes at være omtrentlige til 7, kan det siges at 7 meter / sekund er et godt skøn for den øjeblikkelige hastighed ved (1,3).
tips
For at finde accelerationen (ændring i hastighed over tid), anvend metoden i del 1 for at opnå en afledt ligning for forskydningsfunktionen. Derefter få et andet derivat, denne gang fra den afledte ligning. Så du har en ligning for at finde accelerationen på et givet tidspunkt - alt du skal gøre er at tildele en værdi til tiden.
Ligningen, der relaterer Y (forskydning) til X (tid), kan være ret simpel, for eksempel Y = 6x + 3. I dette tilfælde er kurven konstant, og det er ikke nødvendigt at finde et derivat for at opnå kurven, hvilket er efter den grundlæggende model Y = mx + b for lineære grafer, 6.
Forskydningen svarer til afstanden, men har en bestemt retning, hvilket gør vektorforskydning og skalaracceleration. Forskydningen kan være negativ, og afstanden er kun positiv.
Sådan løses ligninger med tosidige variabler
Sådan beregnes Escape Speed
Sådan beregnes arbejde
Sådan beregnes acceleration
Sådan beregnes kinetisk energi
Sådan beregnes tyngdekraften
Sådan beregner du et objekts masse
Sådan beregnes hastigheden
Sådan beregnes gennemsnitshastigheden
Sådan beregnes en afstand
Sådan finder du den kartesiske ligning af et fly
Sådan Find krydsning af X
Sådan Find Normal Force
Sådan finder du hastighed
Find den oprindelige hastighed
Find den gennemsnitlige kurs for ændring
Hvordan man forstår E = mc2
Måling af intensiteten af en kraft
Finde samlet betaling i en rente-ligning