Sådan beregnes den omvendte af en matrix

Matrixalgebra er centralt i udviklingen af moderne computergrafik og -teknik. Ligesom den sædvanlige algebra arbejder med reelle tal, tilbyder matrixalgebra værktøjer og metoder til at manipulere arrayer og vektorekvationer. Et array er en form for grupperingstal, der er arrangeret i kolonner og rækker - den inverse af en matrix (også kaldet en multiplikativ invers) fungerer på samme måde som den gensidige af et reelt tal.

indhold

Trin

Metode 1omvendt af en 2x2 matrix

Video: excel øvelse beregning af rentes rente 2010

Metode 2omvendt af et array større end 2x2

Video: inverse matrices, column space and null space | essence of linear algebra, chapter 7
Tips

trin

Metode 1
Omvendt af en 2x2 matrix

Sørg for, at din matrix er firkantet. Et array er kun inverterbart (det vil sige, det kan kun have en invers matrix), hvis antallet af kolonner svarer til antallet af rækker. Hvis et array ikke er firkantet, har det ingen omvendt.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 2

Sørg for, at din array er 2x2. Hvis din matrix har 2 rækker og 2 kolonner, kan du beregne dens invers ved denne metode. Hvis arrayet har 3 eller flere rækker og 3 eller flere kolonner, skal du bruge den anden metode.

Video: Excel øvelse beregning af Rentes rente 2010

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 3

Kend formlen. For at beregne den inverse af en 2x2 matrix, brug formlen vist i figuren ovenfor.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 4

Beregn kofaktorerne. Vær den_ij elementet i matrixen i den første række og i den j-th kolonne, dens cofaktor A_ij vil blive beregnet ved udtrykket (-1)^{(i + j)} x det_ij), hvor det_ij) repræsenterer determinanten af 2x2 matrixen dannet ved at fjerne den i-tr række og den jth kolonne, som dette element er en del af. Bestemmelsen af en 2x2 matrix kan opnås som vist ovenfor.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 5

Beregn determinant af matrixen. Den determinant er en absolut værdi, der kan beregnes fra en hvilken som helst kvadratisk matrix. For at beregne determinanten skal du blot tilføje cofaktorerne af elementerne i matrixens første række.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 6

Kontroller, at determinanten er nul. Hvis værdien af matrixdeterminanten er lig med 0, har denne matrix ingen invers.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 7

Find den inverse matrix. Som du bemærker ovenfor, er det meget nemt at få den inverse af en 2x2 matrix: Ændre elementernes position a₁₁ og₂₂, skift elementernes tegn til₁₂ og₂₁ og endelig dele dem alle med værdien af determinanten.

For bedre at forstå, hvordan denne procedure fungerer, bemærk eksemplet med den anden metode.

Metode 2
Omvendt af et array større end 2x2

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 8

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 9

Sørg for, at din array er 2x2. Hvis din matrix har 2 rækker og 2 kolonner, kan du beregne din invers ved hjælp af ovenstående metode. Hvis din matrix har 3 eller flere rækker og 3 eller flere kolonner, skal du bruge denne metode.

Se for eksempel på matrixen ovenfor: Denne matrix A har 3 rækker og 3 kolonner, så du skal følge denne metode for at finde dens inverse.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 10

Beregn alle cofaktorer i din matrix. Vær den_ij elementet i matrixen i den første række og i den j-th kolonne, dens cofaktor A_ij vil blive beregnet ved udtrykket (-1)^{(i + j)} x det_ij), hvor det_ij) repræsenterer determinanten af 2x2 matrixen dannet ved at fjerne den i-tr række og den jth kolonne, som dette element er en del af.

I eksemplet matrix ovenfor er cofaktorerne: A₁₁= 5, a₁₂= -1, a₁₃= -7, A₂₁= -1, a₂₂= -7, A₂₃= -5, A₃₁= -7, A₃₂= 5 og A₃₃= -1.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 11

I eksempelmatrixen beregnes determinanten som følger: A₁₁ + den₁₂ + den₁₃ = 5-1 -7 = -3.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 12

Kontroller, at determinanten er nul. Hvis værdien af matrixdeterminanten er lig med 0, har denne matrix ingen invers.

I matrixen ovenfor er determinanten ikke lig med 0 (dens værdi er lig med 3), så du kunne gå videre til næste trin.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 13

Video: Inverse matrices, column space and null space | Essence of linear algebra, chapter 7

Konstruer matrixen af cofaktorer. Hvis determinanten af matrixen er ikke-null, er dens næste trin at konstruere en matrix med alle cofaktorer.

I eksempelmatrixen vil matrixen af cofaktorer være som vist i figuren ovenfor.

Billedbetegnelse Find omvendt af en matrix Trin 14

Transponér rækkerne og kolonnerne i dette array. Efter at have opbygget cofactor arrayet, skal du bytte rækkerne gennem kolonnerne og rækkerne gennem rækkerne i det array for at konstruere transponeringen af cofactor array.

I eksemplet ville den transponable matrix af cofaktorerne være som vist i figuren ovenfor.

Billedbetegnelse Find omvendt af matrixen Trin 15

Opdel elementerne i matrixen transponeret af determinanten. Efter opnåelse af den transponerede matrix dividerer hver af dens elementer med værdien af determinanten. Den resulterende matrix af denne proces vil være den inverse af den oprindelige matrix.

I vores eksempel vil den inverse matrix være som vist i figuren ovenfor.

tips

En identitetsmatrix nxn har alle dens elementer lig med nul, bortset fra diagonale elementer, som alle er lig med 1.
Husk at den inverse af en 2x2 matrix eksisterer kun hvis₁₁* den₂₂ - den₂₁* den₁₂ er ikke-null.
Du kan nemt kontrollere gyldigheden af en invers matrix ved at gange den med den originale matrix ved at gange en matrix den ved sin omvendte den^-1, du bør få en identitetsmatrix jeg (den skal have samme dimensioner som de to matricer).

Del på sociale netværk:

Relaterede