Sådan omdannes en 3X3 matrix

Omvendte operationer anvendes ofte i algebra for at forenkle operationer, der ellers ville være vanskeligere. For eksempel, hvis et problem beder dig om at opdele med en brøkdel, er det lettere at formere sig med gensidige. Denne sag er en omvendt operation. På samme måde, da der ikke er nogen delingsoperatør for matricer, er det nødvendigt at formere sig med den inverse matrix. Beregning af omvendt af en 3x3 matrix ved hånd er et ret kedeligt arbejde, men værd at kontrollere. Du kan også finde den inverse matrix med en avanceret grafisk regnemaskine.

indhold

Trin

Metode 1oprettelse af den vedhæftede matrix for at finde den omvendte

Video: inverse matrices, column space and null space | essence of linear algebra, chapter 7

Metode 2brug lineær reduktion til at beregne den inverse matrix
Metode 3brug af en regnemaskine til at beregne omvendt matrix

Tips
Advarsler
Kilder og citater

trin

Metode 1
Oprettelse af den vedhæftede matrix for at finde den omvendte

Beregn matrix determinant. Som et første trin skal du beregne matrixens determinant. Hvis det er lig med 0, er dit arbejde færdigt, da matrixen ikke har en omvendt. Bestemmelsen af matrix M kan repræsenteres symbolisk som Det (M).

For at finde den inverse af en 3x3 matrix skal du først beregne determinanten.
For at huske beregningen af determinanten, læs "Sådan finder du determinanten af en 3x3 matrix".

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 2

Transponér den oprindelige matrix. Transponere en matrix består af at afspejle den på hoveddiagonalen eller ækvivalent ændre elementerne (i, j) ved (j, i). Når du transponerer vilkårene i matrixen, vil du se, at hoveddiagonalen (fra øverste venstre hjørne til nederst til højre) ændrer sig ikke.

En anden måde at tænke på gennemførelse er at omskrive den første linje i stedet for den første kolonne, den anden linje i stedet for den midterste kolonne og den tredje linje i stedet for den sidste kolonne. Se på de farvede elementer i diagrammet ovenfor og se, hvor tallene har ændret position.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 3

Beregn determinant for hver af de 2x2 mindre matricer. Hvert element i den nye 3x3 transponerede matrix er forbundet med en "mindre" 2x2 matrix. For at beregne den respektive mindre matrix for hvert udtryk skal du markere rækken og kolonnen for den oprindelige term. Det skal indeholde fem værdier fra arrayet. De resterende fire værdier vil igen udgøre den mindre matrix.

I eksemplet ovenfor skal du markere de fem værdier, der er til stede i den anden række og i den første kolonne, hvis du vil have den mindste række af termen i den anden række i den første kolonne. De resterende fire udtryk vil udgøre den mindre matrix.
Beregn determinanten af hver mindre matrix ved at gøre en kryds multiplikation mellem diagonalerne og subtrahere som vist ovenfor.

Video: Inverse matrices, column space and null space | Essence of linear algebra, chapter 7

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 4

Opret cofactor matrixen. Sæt resultaterne fra det foregående trin til en ny cofactormatrix, idet hver mindre array tilpasses med den tilsvarende position i den oprindelige matrix. Således vil determinanten beregnet ud fra elementet (1,1) i den oprindelige matrix være i position (1,1). Dernæst skal du vende det alternerende terminsignal i dette nye array efterfulgt af "board" -mønsteret vist ovenfor.

Når du indstiller signalerne, bevarer det første element i første linie sit originale signal. Det andet element bliver igen omvendt, mens det tredje element forbliver med det originale signal. Fortsæt på samme måde i hele matricen. Bemærk at tegnet (+) eller (-) i diagrammet ikke tyder på, at det endelige udtryk skal være positivt eller negativt. De er indikatorer for, at det er nødvendigt at holde (+) eller omvendt (-) signalet, som nummeret havde i begyndelsen.
Slutresultatet af dette trin kaldes originalets oprindelsesgruppe. Det udtrykkes som Adj (M).

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 5

Opdel hvert term af matrixen, der er indeholdt af determinanten. Tag værdien af determinanten af M beregnet i det første trin (for at bevise, at den inverse var mulig), og divider nu hver af betingelserne i matrixen med den værdi. Indsæt resultatet af hver beregning i det originale udtrykrum. Resultatet bliver den inverse af den oprindelige matrix.

For matrixen af eksemplet vist i diagrammet vil determinanten ligge 1. Dermed vil dividering af hvert term af den vedlagte matrix resultere i det (du vil ikke altid være så heldig).
I stedet for at dividere repræsenterer nogle kilder dette trin ved at multiplicere hvert udtryk for M ved 1 / Det (M). Matematisk er begge ens.

Metode 2
Brug lineær reduktion til at beregne den inverse matrix

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 6

Tilføj identitetsmatricen til originalen. Skriv den oprindelige matrix M, lav en lodret linje til højre for den, og skriv derefter identitetsmatrixen til højre for linjen. Du vil nu have hvad der synes at være en matrix med tre rækker og seks kolonner.

Husk, at identitetsmatricen er en speciel type, der indeholder værdier 1 i hvert af rummene på hoveddiagonalen, fra øverste venstre hjørne til nedre højre og 0 værdier på alle de andre.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 7

Gør de lineære reduktionsoperationer. Målet er at skabe identitetsmatrixen på højre side af dette udvidede array. Mens du foretager den lineære reduktion på venstre side, er det nødvendigt at gøre de samme operationer på højre side, som startede som identitetsmatrix.

Husk, at lineære reduktioner er lavet som en kombination af skalær multiplikation og lineære additions- eller subtraktionsoperationer for at isolere individuelle termer fra matrixen.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 8

Fortsæt, indtil du har dannet identitetsmatricen. Fortsæt med at foretage lineære fald, indtil venstre side af den udvidede matrix viser identitetsmatricen (diagonal med værdier 1 og værdier 0 i de resterende rum). Når du har nået dette punkt, vil højre side af den lodrette skillelinje være den samme som den inverse af den oprindelige matrix.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 9

Skriv den inverse matrix. Kopier de elementer, der nu vises på højre side af den lodrette skillelinje som den inverse matrix.

Metode 3
Brug af en regnemaskine til at beregne omvendt matrix

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 10

Vælg en lommeregner, der er i stand til at beregne matricer. Enkle regnemaskiner, fra fire operationer, kan ikke direkte hjælpe dig med at beregne den inverse matrix. Men på grund af den gentagne måde beregninger er gjort, kan en avanceret grafisk regnemaskine som Texas Instruments TI-83 eller TI-86 gøre dit job meget lettere.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 11

Indsæt arrayet i regnemaskinen. Først indsæt matrixfunktionen i regnemaskinen ved at trykke på Matrix, hvis til stede På Texas Instruments-regnemaskiner skal du muligvis trykke på 2^nd Matrix.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 12

Gå til undermenuen Edit. For at finde det, afhængigt af modellen, skal du muligvis bruge pilene eller vælge den passende funktionstast øverst på regnemaskinens numeriske tastatur.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 13

Bestem et navn for arrayet. De fleste regnemaskiner er udstyret til at arbejde med en række tre til ti matricer, mærket A til J. Typisk skal du bare vælge [A] for at få jobbet startet. Tryk på tasten. Indtast efter at have foretaget valget.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 14

Indstil matrixens dimensioner. I eksemplerne arbejder vi med 3x3 arrays, men regnemaskinen kan håndtere større størrelser. Indtast antallet af linjer, du ønsker, tryk på Indtast, og indtast antallet af kolonner ved at trykke på Indtast.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 15

Indsæt hver af arrayelementerne. Beregningsskærmen viser en matrix. Hvis du allerede foretog ændringer i den relevante funktion, vises den definerede matrix på skærmen. Markøren låser igen den første af sine elementer. Indtast værdien af det array, du vil finde, og tryk på Indtast. Markøren flytter automatisk til det næste element i arrayet, overskriver andre tidligere værdier.

Hvis du vil indtaste et negativt tal, kan du bruge knappen (-) på din regnemaskine i stedet for at gøre subtraktionen. Matrixfunktionen vil ellers ikke læse nummeret korrekt.
Om nødvendigt kan du bruge piletasterne på regnemaskinen til at bevæge sig rundt i matrixen.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 16

Afslut funktionen af arrayer. Når du har indtastet alle de nødvendige værdier, skal du trykke på Afslut (eller 2^nd Afslut, om nødvendigt). Dette afslutter matrixfunktionen og vender tilbage til hovedskærmen på din regnemaskine.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 17

Brug omvendt nøgle til at finde den inverse matrix. Først skal du genåbne funktionen og bruge navne at vælge den etiket der anvendes i denominering af sin matrix (muligvis [A]). Tryk derefter på den omvendte knap på regnemaskinen,

{ displaystyle x ^ -1}

.For at gøre dette kan du muligvis bruge 2^nd, afhængigt af modellen. I dette tilfælde vises skærmen

{ displaystyle A-1}

.tryk Indtast og den inverse matrix vises på skærmen.

Brug ikke knappen ^ på regnemaskinen til at forsøge at skrive A ^ -1 separat. Maskinen forstår ikke denne operation.
Hvis du får en fejlmeddelelse, når du trykker på omvendt matrixknappen, er det muligt, at den originale matrix ikke har en omvendt. Du kan returnere og beregne determinanten for at bekræfte denne mistanke.

Billedbetegnelse Find omvendt af 3x3 Matrix Trin 18

Konverter den inverse matrix til præcise svar. Den første operation, som regnemaskinen giver, er i decimalt format og betragtes ikke i de fleste tilfælde som "nøjagtige". Du skal konvertere de decimale svar til brøkformularen efter behov (hvis du er heldig, vil resultaterne være heltal, men det er en sjælden ting).

Regnemaskinen har sandsynligvis en funktion, der automatisk konverterer decimaler til fraktioner. For eksempel, når du bruger en TI-86, skal du indtaste Math, vælg Diverse og Frac, trykke Indtast at følge. Decimaler vises automatisk som brøker.

tips

Du kan følge ovenstående trin for at beregne den inverse af et array, der indeholder ikke kun tal, men variabler, ukendte eller endda algebraiske udtryk.
Skriv alle trinene, da det er meget vanskeligt at beregne den inverse af en 3x3 hovedgruppe.
Der er computerprogrammer, der beregner de inverse af arrays for dig, kommer til arbejde med størrelser på 30x30 eller større.
Kontroller nøjagtigheden af dit resultat uanset den valgte metode multiplicand M ved M^-1. På den måde kan du bekræfte, at M * M^-1 = M^-1* M = I. Jeg repræsenterer identitetsmatricen, som består af værdier 1 over hoveddiagonalen og værdierne 0 i de andre rum. Hvis det ikke er tilfældet, er det muligt, at du fik det forkert et sted.

advarsler

Ikke alle 3x3 matricer har invers. Hvis matrix-determinanten er lig med 0, indikerer den, at den ikke har en invers (bemærk at i formlen vi har foretaget en division med Det (M) - en division med nul betragtes som ubestemt).