HodTari.com

Sådan løses et system med algebraiske ligninger, der indeholder to variabler

I et "ligningssystem" bliver du bedt om at løse to eller flere ligninger samtidigt. Når begge har forskellige variabler, f.eks. X og y, eller a og b, kan det virke svært at finde ud af, hvordan man løser dem. Heldigvis, når du ved hvad du skal gøre, skal du bare bruge nogle grundlæggende algebra viden (og nogle gange nogle kendskab til fraktioner) for at løse problemet. Hvis du er en visuel lærer, eller hvis din lærer kræver det, skal du også lære at vise ligningerne grafisk. Grafer kan være nyttige til at "observere hvad der sker" eller for at kontrollere dit eget arbejde, men det kan være langsommere end andre metoder og virker ikke så godt i alle ligningssystemer.

trin

Metode 1
Brug af substitutionsmetoden

Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 2
1
Pass variablerne til forskellige sider af ligningen. Denne "substitution" -metode begynder med "løsning x" (eller en hvilken som helst anden variabel) i en hvilken som helst af de foreliggende ligninger. For eksempel, hvis en af ​​dem er 4x + 2y = 8, Det første trin er at omarrangere denne sekvens ved at trække 2y fra hver side, så vi 4x = 8-2y.
  • Ofte bruger denne metode senere fraktioner. Du kan forsøge at fjerne elimineringsmetoden lavt, hvis du har svært ved at bruge fraktioner.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 3
    2
    Opdel begge sider af ligningen for at "løse x". Når du har termen x (eller hvad variabel er i brug) på den ene side af ligningen, divider begge sider for at få den isolerede variabel. For eksempel:
    • 4x = 8-2y
    • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
    • x = 2 - ½y
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 4
    3

    Video: Inverse matrices, column space and null space | Essence of linear algebra, chapter 7

    Indtast disse data i den anden ligning. Sørg for at du er vendt tilbage til andre ligning, ikke den, der for nylig blev brugt. I denne ligning skal du erstatte den løstede variabel, så kun en er tilbage. For eksempel:
    • Det ved du x = 2 - 1 / 2y.
    • Dens anden ligning, som ikke er ændret, er 5x + 3y = 9.
    • I den anden ligning skal du erstatte x med 2 - 1 / 2y: 5 (2 - 1 / 2y) + 3y = 9.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 5
    4
    Løs den resterende variabel. Du har nu en ligning, der kun indeholder en variabel. Brug algebra teknikker til at løse det. Hvis dine variabler annullerer, skal du springe til det sidste trin. Ellers vil du have et svar på en af ​​dine variabler:
    • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
    • 10 - (5/2) og + 3y = 9
    • 10 - (5/2) og + (6/2) y = 9
    • 10 + ½y = 9
    • ½y = -1
    • y = -2
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 6

    Video: Algebra I: Translating Problems Into Equations (Level 1 of 2) | Word Problems, Problem Solving

    5
    Brug svaret til at løse den anden variabel. Gør ikke fejlen ved at forlade problemet i halvdelen. Det vil være nødvendigt at indsætte resultatet opnået i en af ​​de oprindelige ligninger for at løse den anden variabel.
    • Det ved du y = -2.
    • En af de oprindelige ligninger er 4x + 2y = 8.
      • Du kan bruge en ligning i dette trin.
    • Indtast -2 i stedet for y: 4x + 2 (-2) = 8.
    • 4x = 4 = 8
    • 4x = 12
    • x = 3
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 7
    6
    Lær hvad du skal gøre, når begge variabler annullerer. Når du indsætter x = 3y + 2 eller et tilsvarende svar i den anden ligning, vil du forsøge at få et resultat med kun en variabel. Nogle gange vil du have en ligning uden eventuelle variabler. Dobbeltkryd dit arbejde og sørg for at du har indtastet den første ligning (omarrangeret) i den anden, i stedet for at gøre den igen i den første. Hvis du er sikker på, at du ikke har lavet en fejl, får du et af følgende resultater:
    • Hvis du som resultat får en ligning uden nogen variabler, og det er ikke sandt (for eksempel 3 = 5), problemet ingen løsning (hvis du repræsenterede begge ligninger grafisk, vil du bemærke, at de var parallelle og aldrig ville krydse).
    • Hvis du som resultat får en ligning uden variable, men det er sandt (som 3 = 3) har problemet uendelige løsninger. Begge ligninger er nøjagtigt ens til hinanden (hvis du repræsenterede dem grafisk, vil du bemærke, at de er de samme).

    • Metode 2
    Brug af sletningsmetoden

    Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 9
    1
    Find den variabel, der kan annulleres. Lejlighedsvis vil ligningerne allerede "annullere" en variabel, når de summeres sammen. For eksempel, når du kombinerer ligninger 3x + 2y = 11 og 5x - 2y = 13, "+ 2y" og "-2y" vil annullere hinanden og fjerne "y" -værdien i ligningen. Overhold alle ligningerne i dit problem omhyggeligt, og find ud af om nogen af ​​variablerne bliver annulleret på denne måde. Hvis dette ikke sker med nogen af ​​dem, skal du læse det næste trin for at få flere oplysninger.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 10
    2
    Multiplicér en ligning for at annullere en af ​​variablerne - spring over dette trin, hvis variablerne allerede er blevet annulleret. Hvis ligningerne ikke har en naturligt forekommende variabel, skal du ændre en af ​​ligningerne for at annullere den. Det er enklere at forstå det med et eksempel:
    • Du har systemer af ligninger 3x-y = 3 og -x + 2y = 4.
    • Lad os ændre den første ligning, så variablen y er annulleret (du kan vælge variablen x, og det samme sidste svar vil blive opnået).
    • Variabelen -y i den første ligning skal annulleres med +2y til stede på mandag. Det kan vi gøre ved at multiplicere -y med 2.
    • Multiplicer begge sider af den første ligning med 2 som følger: 2 (3x-y) = 2 (3), så det 6x - 2y = 6. Nu, den -2y vil blive annulleret med +2y til stede i den anden ligning.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 11
    3
    Kombiner begge ligninger. For at kombinere de to ligninger skal du tilføje begge venstre sider og tilføje de højre sider. Hvis du har defineret ligningen korrekt, annulleres en af ​​variablerne. Her er et eksempel ved at bruge de samme ligninger, der præsenteres i det sidste trin.
    • Deres ligninger er 6x - 2y = 6 og -x + 2y = 4.
    • Match venstre side: 6x - 2y - x + 2y =?.
    • Match de rigtige sider: 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 12
    4


    Løs den sidste variabel. Forenkle den kombinerede ligning og brug grundlæggende algebra til at løse den sidste variabel. Hvis der ikke er nogen variabler efter forenkling, skal du springe til sidste trin i dette afsnit. Ellers vil du få et simpelt svar på en af ​​variablerne. For eksempel.
    • Du har 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.
    • Gruppevariabler x og y sammen: 6x-x-2y + 2y = 6 + 4.
    • forenkle: 5x = 10.
    • Fix x: (5x) / 5 = 10/5, det vil sige x = 2.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 13
    5
    Løs den anden variabel. Du har opdaget en af ​​variablerne, men du er ikke færdig med problemet endnu. Indtast resultatet i en af ​​de oprindelige ligninger for at løse den anden variabel. For eksempel:
    • Det ved du x = 2 - En af dens oprindelige ligninger er 3x-y = 3.
    • Sæt 2 i stedet for x: 3 (2) - y = 3.
    • Løs y i ligningen: 6-y = 3.
    • 6 - y + y = 3 + y, så det 6 = 3 + y.
    • 3 = y
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 14
    6
    Lær hvad du skal gøre, når begge variabler annullerer. I nogle tilfælde resulterer kombinationen af ​​de to ligninger i en ligning, der slet ikke giver mening, eller i det mindste hjælper det dig ikke med at løse problemet. Dobbeltkig dit arbejde fra begyndelsen, men hvis der ikke er nogen fejl, skriv et af følgende som det endelige svar:
    • Hvis din kombinerede ligning ikke har nogen variable og ikke er sandt (f.eks. 2 = 7) der er ingen løsning som vil tjene begge ligninger (hvis du repræsenterer både grafisk, vil du se, at de er parallelle og aldrig skærer).
    • Hvis din kombinerede ligning ikke har nogen variable og er sand (som 0 = 0), er der endeløse løsninger. De to ligninger er faktisk identiske (hvis du graver dem, vil du bemærke, at de er samme linje).

    • Metode 3
    Representerer ligningerne grafisk

    Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 15
    1
    Brug kun denne metode, når du bliver bedt om det. Medmindre du bruger en computer eller en grafregner, kan flere systemer af ligninger kun løses med denne metode. Din matematiklærer eller -bog kan bede dig om at bruge denne metode til at gøre dig bekendt med repræsentationen af ​​ligninger på en lineær måde. Du kan også bruge denne metode til at kontrollere dine svar fra en af ​​de foregående.
    • Grundidéen er at afgrænse begge ligningerne og finde det punkt, de krydser. Værdierne x og y på dette tidspunkt vil give os værdien af ​​x og værdien af ​​y i ligningssystemet.
  • Billede titel Solve Systems of Algebraic Equations, der indeholder to variabler Trin 16
    2
    Løs begge ligninger for y. Hvis du holder de to ligninger adskilt, skal du bruge algebra til at omdanne hver ligning til formatet "y = __x + __". For eksempel:
    • Din første ligning er 2x + y = 5. Skift det til y = -2x + 5.
    • Dens anden ligning er -3x + 6y = 0. Vend det ind 6y = 3x + 0, forenkle det endelig til y = ½x + 0.
    • Hvis begge ligninger er ens, hele linjen vil være et kryds. skrive endeløse løsninger.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 17
    3
    Tegn koordinatakserne. På et stykke grafpapir tegner du en lodret "y-akse" og en vandret "x-akse". Begynd fra det punkt, hvor begge skærer, mærker tallene 1, 2, 3, 4 osv. ved at flytte op y-aksen og derefter gentage denne procedure til højre på x-aksen. Mærk tallene -1, -2 osv. ned y-aksen og derefter til venstre på x-aksen.
    • Hvis du ikke har et rutet papir, skal du bruge en linjal for at sikre, at tallene er lige adskilt.
    • Hvis du bruger store eller decimaltal kan være nødvendigt at anvende en anden målestok i den grafiske (fx 10, 20, 30, 0,1, 0,2, 0,3 i stedet for 1, 2, 3).
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 18
    4
    Tegn værdien y for hver linje. Når du har en ligning i formatet y = __x + __, Det vil være muligt at repræsentere det grafisk ved at tegne et punkt, hvor linjen krydser y-aksen. Det vil altid være i en y-værdi svarende til det sidste tal i den ligning.
    • I vores tidligere eksempler er en linje (y = -2x + 5) krydser y-aksen i værdi 5. Den anden (y = ½x + 0) krydser værdien 0.
      • Disse vil være punkterne (0,5) og (0,0) i diagrammet.
    • Brug blyanter eller kugler i forskellige farver, hvis det er muligt, for de to linjer.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 19
    5
    Brug den lige linje for at fortsætte linjerne. I formatet y = __x + __, Tallet foran x repræsenterer drejning af linjen. Hver gang x stiger med 1, øges værdien y med det beløb, der repræsenteres af linjen. Brug denne information til at tegne punktet på grafen for hver linje, når x = 1 (alternativt indtast x = 1 i hver ligning og løse for y).
    • I vores eksempel er y = -2x + 5 har en hældende værdi linje -2. Ved x = 1, linjen ned 2 fra det punkt, hvor x = 0. Tegn linjesegmentet mellem (0.5) og (1.3).
    • Linjen y = ½x + 0 har en hældende værdi linje ½. Ved x = 1, linjen stiger ½ fra punktet x = 0. Tegn linjesegmentet mellem (0,0) og (1, ½).
    • Hvis linjerne har samme skrå linje, de vil aldrig krydse, det vil sige, der er ikke noget svar på systemet af ligninger. skrive ingen løsning.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 20
    6
    Fortsæt med at repræsentere linjerne, indtil de skærer hinanden. Stop og se på dit diagram. Hvis linjerne allerede har krydset, skal du springe til næste trin. Ellers træffe en beslutning baseret på, hvad de nu repræsenterer.
    • Hvis linjerne bevæger sig mod hinanden, skal du fortsætte med at indsætte punkter i den retning.
    • Hvis linjerne bevæger sig væk fra hinanden, skal du gå tilbage og indsætte data i modsat retning, begyndende ved x = -1.
    • Hvis linjerne ikke er tætte, prøv at gå videre og beregne fjerneste punkter, f.eks. X = 10.
  • Billedbetegnelse Løs system af algebraiske ligninger, der indeholder to variabler Trin 21
    7
    Find ud af svaret på krydset. Når begge linjer krydser, vil x- og y-værdierne på det tidspunkt være svaret på dine problemer. Hvis du er heldig, vil løsningen være et helt tal. For eksempel skærer de to linjer i vores eksempler ind (2.1), så vores svar er x = 2 og y = 1. I nogle systemer af ligninger skærer linjerne ved en værdi mellem to heltal, og medmindre grafen er ekstremt nøjagtig, vil det være svært at bestemme, hvor dette kryds vil være. Hvis dette sker, kan du skrive et svar som "x er mellem 1 og 2" eller brug substitution eller sletning metoder for at få en mere præcis løsning.

    • tips

    • Du kan tjekke dit arbejde ved at indtaste svarene tilbage i de oprindelige ligninger. Hvis de er sande (for eksempel 3 = 3), er svaret korrekt.
    • I eliminationsmetoden skal du undertiden multiplicere en ligning med et negativt tal for at kunne annullere en variabel.

    advarsler

    • Disse metoder kan ikke bruges, hvis der er en variabel hævet til en eksponent, som i tilfældet med x2. For mere information om ligninger af denne type, se en vejledning til at faktorisere kvadratiske ligninger, der indeholder to variabler.
    Del på sociale netværk:

    Relaterede
    © 2024 HodTari.com