HodTari.com

Sådan afledes Bhaskara Formel

Et af de vigtigste værktøjer, som en algebra studerende skal lære er Bhaskara

, det vil sige x = (- b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Med denne formel er det muligt at løse kvadratiske (eller anden grad) ligninger på en meget enklere måde - bare erstatte værdierne af koefficienterne den, b og c og løse aritmetiske operationer. Mens "knowing" formlen er nok for de fleste elever, er "forståelse", hvordan det er afledt (med andre ord, hvor det kommer fra) noget helt anderledes. Faktisk er formlen afledt ved hjælp af en teknik kaldet "fuldendelse af firkanten", der har flere andre anvendelser i matematik.

trin

Metode 1
Afled formel fra Bhaskara

Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 1
1
Begynd med den generelle form for en kvadratisk ligning. Alle kvadratiske (eller anden grad) ligninger har formen økse2 + bx + c = 0. At begynde at udlede formlen fra Bhaskara, skriv den generelle ligning på et ark papir og efterlad nok plads under det. Udskift ikke koefficienterne den, b eller c ved tal - vi vil arbejde med den generelle form af ligningen.
  • Ordet "kvadratisk" henviser til det faktum, at udtrykket x er rejst til firkanten - "quad" kommer fra det samme latinske radikale, der vises i "square". Uanset hvilke værdier der anvendes til koefficienterne den, b og c, hvis en ligning kan skrives i binomial form, vil den være en kvadratisk ligning. Den eneste undtagelse er, når den er nul, i dette tilfælde som udtrykket x2 forsvinder fra ligningen, vil det ikke længere være kvadratisk.
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 2
    2
    Del de to sider af ligningen med den. At udlede formlen fra Bhaskara, det er nødvendigt at isolere begrebet x på den ene side af ligestilling. For at gøre dette bruger vi den afbestillingsmetode, der allerede er kendt i grundalgebra, til gradvist at flytte resten af ​​variablerne fra ligningen til den anden side af ligestillingen. Lad os begynde med at dividere den venstre side af ligningen med variablen den. Efter operationerne skal du skrive den nye ligning i linjen herunder.
    • Ved at dele de to sider ved den, glem ikke at anvende divisionens distributive ejendom, hvilket betyder at dividere venstre side af ligningen med den er det samme som at dele hver af betingelserne individuelt.
    • Efter operationerne ankommer vi til ligningen x2 + (b / a) x + c / a = 0. Bemærk at den som multiplicerede termen x2 blev aflyst, og at højre side af ligningen forbliver nul (nul divideret med et andet tal end nul er lig med nul).
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 3
    3
    trække c / a de to sider af ligningen. Lad os nu fjerne det uafhængige udtryk c / a på venstre side af ligningen. For dette er det nok at trække det fra begge sider af ligningen.
    • Efter denne operation vil vi have ligningen x2 + (b / a) x = -c / a. Der er stadig to udtryk x på venstre side af ligningen, men højre side begynder allerede at tage form.
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 4
    4
    nogle b2/ 4a2 på begge sider af ligningen. Det er herfra, at processen bliver lidt mere kompleks. Vi har to forskellige x udtryk på venstre side af ligningen: x2 og en x. Ved første øjekast forekommer det umuligt at forenkle, fordi algebra regler forhindrer os i at tilføje udtryk med variabler fra forskellige eksponenter. Vi vil dog bruge en praktisk metode kaldet "komplet square" for at fortsætte vores beslutning.
    • For at fuldføre firkanten tilføjes b2/ 4a2 på begge sider af ligningen. Husk at grundlæggende algebra giver os mulighed for at tilføje noget på den ene side af ligestilling, så længe vi tilføjer det samme på den anden side, så denne operation er helt gyldig. Din ligning skal se sådan ud: x2+(b / a) x + b2/ 4a2 = -c / a + b2/ 4a2.
    • For bedre at forstå, hvordan firkantede færdiggørelsesmetode fungerer, spring til næste afsnit.
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 5
    5
    Faktor venstre side af ligningen. Lad os nu fokusere på venstre side for at forenkle det. Den venstre side af ligningen skal se sådan ud: x2+(b / a) x + b2/ 4a2. Hvis vi ser på udtrykkene "(b / a)" og "b2/ 4a2"Som koefficienterne" m "og" n ", kan vores ligning blive x2 + mx + n, hvilket betyder at det kan indregnes i (x + p)2, hvor p er lig med m ganget med 1/2 og kvadratroden af n.
    • Det betyder, at vi kan faktorisere venstre side af ligningen, x2+(b / a) x + b2/ 4a2, at opnå (x + (b / 2a))2.
    • Dette gælder, fordi (x + (b / 2a))2 = x2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a)2 = x2+(b / a) x + b2/ 4a2, vores oprindelige ligning.
    • Factoring er et værdifuldt algebraværktøj, men nogle gange kan det være ret komplekst. For en mere detaljeret forklaring af, hvad factoring er, og hvordan man bruger det, få adgang til link af ovenstående artikel.
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 6
    6
    Brug den fællesnævner 4a2 på højre side af ligningen. Glem nu på venstre side og koncentrere dig om at finde en fællesnævner for vilkårene på højre side. For at du kan forenkle de fraktionelle udtryk til højre, skal de have en fællesnævner.
    • Denne operation er meget enkel- -c / a af 4a / 4a at få -4ac / 4a2. Nu skal højre side af ligningen være -4ac / 4a2 + b2/ 4a2.
    • Bemærk at disse udtryk nu har samme nævner 4a2, derfor kan vi tilføje dem og nå frem til (b2 - 4ac) / 4a2.
    • Du behøver ikke at gentage denne multiplikation på venstre side af ligningen. Sådan formere du et begreb ved 4a / 4a er det samme som at gange den med en (hvilken som helst ikke-nul tal divideret med sig selv er lig med en), er vi ikke ændrer ligningen, det vil snart ikke være behov for at kompensere den anden side af lighed.
  • Billedbetegnelse Afled Quadratic Formula Step 7
    7
    Tag kvadratroden på begge sider af ligningen. Vores ligning skal nu se sådan ud: (x + b / 2a)2 = (b2 - 4ac) / 4a2). Da vores mål er at isolere udtrykket x fra den ene side af ligestilling, er det næste skridt at tage kvadratroden fra begge sider.
    • Efter denne operation vil vi have x + b / 2a = ± √ (b2 - 4ac) / 2a. Glem ikke plus- eller minustegnet (negative tal kan også være kvadret).
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 8


    8
    Endelig trække b / 2a på begge sider af ligningen. På dette tidspunkt er udtrykket x næsten alene på venstre side. Nu skal du bare trække b / 2a på begge sider for at gøre det helt isoleret. Efter operationerne ankommer vi til ligningen x = (-b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Ser det godt ud? Tillykke med, du har lige afledt formlen fra Bhaskara!
    • Lad os dele det sidste trin lidt mere. Når der trækkes fra b / 2a på begge sider vil vi have x = ± √ (b2 - 4ac) / 2a-b / 2a. som b / 2a og √ `(f2 - 4ac) / 2a har fællesnævner 2a, vi kan opsummere dem og nå opdelingen ± √ (b2 - 4ac) -b / 2a eller ved forenkling, (B ± √ (b2 - 4ac)) / 2a.

    • Metode 2
    Lær at "færdiggøre kvadrat"

    Billedbetegnelse Afled Quadratic Formula Step 9
    1
    Start med ligningen (x + 3)2 = 1. Hvis du ikke var bekendt med den metode, der bruges til at udlede formlen fra Bhaskara Når du begynder at læse denne tutorial, skal du nok nok være lidt forvirret over, hvad "square completing" betyder. Bare rolig - i dette afsnit forstår du denne proces grundigt. Lad os starte med en indregnet polynomækvation: (x + 3)2 = 1. I de følgende trin vil vi bruge denne simple ligning som et eksempel for at forklare, hvorfor det er nødvendigt at "fuldføre firkanten" ved at udlede formlen fra Bhaskara.
  • Billede titel Afled den kvadratiske formel Trin 10
    2
    Bestem rødderne af x. Find rødderne af (x + 3)2 = 1 er relativt simpelt - tag blot kvadratroden af ​​de to sider af ligestillingen og isoler derefter x. Se nedenstående trin-for-trin opløsning:
    • (x + 3)2 = 1
      (x + 3) = √1
      x + 3 = ± 1
      x = ± 1 - 3
      x = -2, -4
  • Billede titel Afled den kvadratiske formel Steg 11
    3
    Udvid ligningen. Vi har allerede fundet rødderne x, men vi er ikke færdige endnu. Denne gang vil vi "åbne" ligningen (x + 3)2 = 1, ved at omskrive den i form af (x + 3) (x + 3) = 1. Vi vil udvide ligningen udtrykkene multiplicere konsollerne sammen. Anvendelse af distributiv ejendom af multiplikation, vi ganger det første medlem af den første parentes det første medlem af den anden konsol og derefter det andet medlem af den anden parêntese- multiplicerer det andet medlem af den første parentes det første medlem af den anden konsol og derefter det andet .
    • Anvendelse af den fordelende ejendom og løsning af operationerne har vi:
      (x + 3) (x + 3)
      (x × x) + (x × 3) + (3 x x) + (3 x 3)
      x2 + 3x + 3x + 9
      x2 + 6x + 9
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Steg 12
    4
    Sæt ligningen i standardformularen. Nu skal vores ligning være som følger: x2 + 6x + 9 = 1. Bemærk at det næsten svarer til standardformen for en kvadratisk ligning. For at det skal forblive i standardformularen, skal vi nulstille på den ene side af ligningen. Når der trækkes fra 1 på begge sider vil vi have x2 + 6x + 8 = 0.
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Steg 13
    5
    Slidbanepålægning. Lad os gennemgå hvad vi ved:
    • Ligningen (x + 3)2 = 1 har to rødder til x: -2 og -4.
    • Ligningen (x + 3)2 = 1 kan omskrives som x2 + 6x + 9 = 1, eller endda i form x2 + 6x + 8 = 0 (kvadratisk ligning).
      Derfor er den kvadratiske ligning x2 + 6x + 8 = 0 har -2 og -4 som rødder til x. Hvis du erstatter disse værdier med x, du vil se, at de to har nulstillet ligningen, så de er også korrekte for den kvadratiske form.
  • Billedbetegnelse Afled den kvadratiske formel Trin 14
    6
    Forstå, hvordan man "færdiggør firkantet". Som vi allerede har set, er det meget lettere at løse en kvadratisk ligning efter at have passeret den til formularen (x + a)2 = b. For at omdanne en kvadratisk ligning til sin faktoriske form kan det imidlertid være nødvendigt at tilføje eller trække en vis værdi fra begge sider af ligningen. Generelt for en ligning i form x2 + bx + c = 0, skal koefficientværdien "c" være lig med (b / 2)2 således at ligningen kan faktureres til (x + (b / 2))2. Hvis dette ikke er tilfældet, skal vi tilføje eller trække tal fra hver side af ligningen, indtil vi kan faktorere ligningen. Det er det, vi kalder udfyld pladsen, og det er præcis det, vi gjorde i det foregående afsnit for at udlede formlen fra Bhaskara.
    • Her er nogle flere eksempler på kvadratiske ligninger - bemærk at koefficienten i hver af dem er c er lig med koefficientværdien b divideret med to og derefter kvadreret.
      x2 + 10x + 25 = 0 = (x + 5)2
      x2 - 18x + 81 = 0 = (x + -9)2
      x2 + 7x + 12,25 = 0 = (x + 3,5)2
    • Her er et eksempel på en kvadratisk ligning, hvor koefficienten c ikke værd at kvadratet af halvdelen af ​​koefficienten b. I dette tilfælde er vi nødt til at tilføje en værdi på hver side af ligestillingen, så vi kan gøre faktoriseringen - med andre ord skal vi "færdiggøre pladsen".
      x2 + 12x + 29 = 0
      x2 + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
      x2 + 12x + 36 = 7
      (x + 6)2 = 7

    • Nødvendige materialer

    • Blyant (eller blyant) og papir

    Kilder og citater

    Vis mere ... (3)
    Del på sociale netværk:

    Relaterede
    © 2024 HodTari.com