Hvordan faktor faktor 2-polynomier (kvadratiske ligninger)

Hvis du har et temmelig simpelt polynom, kan du måske regne med selvfaktorerne, når du kigger på det. For eksempel kan mange matematikere efter at have praktiseret at identificere dette udtryk 4x² + 4x + 1 har faktorerne (2x + 1) og (2x + 1) efter at have arbejdet meget hårdt med dette udtryk tidligere. Men selvfølgelig vil det ikke være så nemt med de mere komplicerede polynomier. I dette eksempel vil vi bruge et mindre almindeligt udtryk:

2

Saml to sæt tomme parenteser. Du vil udfylde dem med konstanterne for hvert udtryk:

(x) (x)

3

Udfyld mellemrummet foran x`erne med et par mulige faktorer for værdien den. For udtrykket den i det anvendte eksempel 3x², der er kun en mulighed:

(3x) (1x)

4

Udfyld de to rum efter x`erne med et par faktorer for konstanterne. Forestil dig at du vælger tal 8 og 1. Skriv dem ned:

(3x 8) (x 1)

5

Bestem hvilke signaler (tilføjelse eller subtraktion) der skal gå mellem variablerne af x og tallene. Afhængigt af tegnene i det originale udtryk er det muligt at finde ud af, hvad tegnene på konstanterne skal være. Lad os kalde de to konstanter for de to faktorer h og k:

Hvis øksen² + bx + c, derefter (x + h) (x + k)
Hvis øksen² - bx-c eller økse² + bx - c, så (x - h) (x + k)
Hvis øksen² - bx + c, så (x - h) (x - k)
For eksempel 3x² + 2x - 8 skal signalerne være: (x - h) (x + k), hvilket resulterer i de to faktorer:

(3x + 8) og (x - 1)

6

Test valgene ved hjælp af den fordelende ejendom. En første hurtig test, der skal udføres, er at se, om mediet svarer til de korrekte værdier. Hvis de ikke er, kan du have valgt de forkerte faktorer for c. Lad os afprøve svaret:

(3x + 8) (x - 1)
Når du udfører multiplikation, får du:

3x² - 3x + 8x - 8
Ved at forenkle dette udtryk ved at tilføje de tilsvarende udtryk (-3x) og (8x) får du:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8
Nu ved vi, at vi skal identificere de forkerte faktorer:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

7

Skift om nødvendigt faktorerne. I det viste eksempel vil vi forsøge at bruge 2 og 4 i stedet for 1 og 8:

(3x + 2) (x - 4)
Nu er udtrykket c lig med -8, men det eksterne / interne produkt (3x * -4) og (2 * x) er lig med -12x og 2x, som ikke vil blive kombineret for at skabe den korrekte term b af + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x

8

Omvendt ordren om nødvendigt. Lad os prøve at flytte 2 og 4:

(3x + 4) (x - 2)
Nu er udtrykket c (4 * 2 = 8) er stadig korrekt, men de eksterne / interne produkter er -6x og 4x. Ved at kombinere dem:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2xVi er tæt på 2x, men signalet er forkert.

9

Kontrollér tegnene, hvis det er nødvendigt. Hold den samme rækkefølge, men skift den med minustegn:

(3x-4) (x + 2)
Nu er udtrykket c er stadig korrekt, men de eksterne / interne produkter er (6x) og (-4x). Sådan:

6x - 4x = 2x
2x = 2xDet er nu muligt at genkende det positive 2x-udtryk for det oprindelige problem. Disse bør være de rigtige faktorer.

Denne metode identificerer alle mulige faktorer i vilkårene den og c og bruger dem til at finde ud af, hvad faktorerne skal være. Hvis tallene er for store eller de andre metoder virker mere komplicerede, skal du bruge denne metode. Lad os bruge eksemplet:

2

Oplev værdien af ​​udtrykket b factoring og testning. Det er nødvendigt at finde to tal, der er produktfaktorer af den * c og svarer også til udtrykket b (13), når de tilføjes sammen.

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

3

Udskift de to tal opnået i ligningen som summen af ​​termen b. Lad os bruge k og h at repræsentere de to opnåede tal, 4 og 9:

økse² + kx + hx + c
6x² + 4x + 9x + 6

4

Faktor polynomet ved at gruppere. Ordne ligningen, så du kan faktor i den største fællesfaktor i de to første og de sidste to termer. Begge grupperede grupper bør være de samme. Tilføj de største fællesfaktorer og placere dem i parentes ved siden af ​​den grupperede gruppe - resultatet bliver de to faktorer:

6x² + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

I lighed med nedbrydning undersøger "triple start" -metoden de mulige faktorer i produkterne af udtryk den og c, brug dem til at finde værdien af b. For eksempel, overvej følgende ligning:

2

Find to tal med disse tal, da produktet og summen svarer til udtrykket b. Dette trin er identisk med dekomponeringsmetoden - du skal teste og afvise kandidaterne til konstanterne. Produktet af udtryk den og c er 16, og udtrykket c svarer til 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

3

Tag disse to tal og test deres erstatning i "triple match" -formlen. Tag de to tal fra det foregående trin - lad os ringe til dem h og k - og sæt dem i dette udtryk:

(økse + h) (økse + k)) / a

I dette tilfælde vil vi få:

(8x + 8) (8x + 2)) / 8

4

Se hvilken af ​​de to udtryk i tælleren er lige delelig med den. I dette eksempel tester vi om (8x + 8) eller (8x + 2) kan divideres med 8. (8x + 8) er delelig med 8, så lad os opdele dette udtryk ved den og lad andre være som de er.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Det udtryk, vi redder i dette tilfælde er resten af ​​divisionen med udtrykket den: (x + 1)

5

Tag den største fællesfaktor på en eller begge vilkår, hvis nogen. I dette eksempel har det andet udtryk som sin fælles faktor nummer 2, siden 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombiner dette svar med det udtryk, der er angivet i det foregående trin. Dette er faktorerne i ligningen.

2 (x + 1) (4x + 1)

Nogle koefficienter i polynomierne kan identificeres som "rødder" eller produktet af to tal. Ved at identificere disse rødder kan du faktorisere polynomier meget hurtigere. Overvej ligningen:

Video: Algebra II: Quadratic Equations (Level 1 of 3) | Types, Standard Form, Solutions

2

Identificer, om koefficienterne i ligningen er firkantede tal. For at bruge denne metode skal du være i stand til at tage den nøjagtige kvadratrotte af vilkårene. Bemærk, at tegn på subtraktion er udeladt, da disse tal er kvadrater, der kan være produkter med to positive eller negative tal.

9x² = 3x * 3x og 4 = 2 * 2

3

Brug de identificerede firkantede rødder til at skrive faktorerne. Tag værdierne af den og c trin ovenfor (den = 9 og c = 4) og beregne de firkantede rødder af dem - √den = 3 og √c = 2. De vil være koefficienterne af udtryksfaktoren:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x2)

Hvis de andre metoder fejler og ligningen ikke er ensartet, skal du bruge den kvadratiske formel. Overvej følgende eksempel:

2

Video: Introduction to the quadratic equation | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

Beregn værdien af x. Du skal have to værdier for x. Som vist ovenfor får vi to svar:


x = -2 + √ (3) eller x = -2 - √ (3)

3

Brug værdierne for x at beregne faktorerne. Udskift x. De vil være de faktorer. Hvis vi identificerer de to svar som h og k, du skal skrive faktorerne som følger:

(x - h) (x - k)
I dette tilfælde er det endelige svar:

(x + 2 + √ (3)) (x + (2 + √ (3))

Hvis det er muligt at bruge det, gør en grafisk regnemaskine factoring processen meget lettere, især i test. Følgende instruktioner gælder for en grafregner. Overvej følgende eksempel:

2

Saml grafen af ​​ligningen i regnemaskinen. Efter indtastning af ligningen, skal du trykke på tasten [GRAPH] - bør du se en bue, der repræsenterer ligningen (og vil være en bue, da vi har at gøre med polynomier).

3

Se, hvor buen skærer aksen x. Da polynomiske ligninger normalt skrives som økse² + bx + c = 0, disse er de to værdier af x som gør udtrykket lig med nul:

(-1,0), (2,0)
x = -1, x = 2

• Hvis du ikke kan identificere, hvor grafen krydser x, tryk på [2nd] og derefter [TRACE]. Tryk på [2] eller vælg "nul". Skub markøren til venstre for krydset, og tryk på [ENTER]. Skub markøren til højre for krydset, og tryk på [ENTER]. Skub markøren til nærmeste kryds og tryk på [ENTER]. Regnemaskinen finder værdien af x. Gør det samme for det andet kryds.

4

Udskift x opnået i det foregående trin i to fakultetiske udtryk. Ved brug af de to x (h og k) vil det anvendte udtryk være:

(x - h) (x - k) = 0
Derfor bør de to faktorer være:

(x - 2) = (x + 1) (x - 2)