Løsning af relativ tilbagevenden

Løs de ukendte, afhængigt af hvordan sekvensen blev startet. I dette tilfælde var 3 siden udtrykket 0^den, formlen er_n = 3 * 2ⁿ. Hvis i stedet 3 var første term, ville du få_n = 3 * 2^(N-1).

Skriv den generelle form for et polynom i den krævede grad. I dette eksempel er p kvadratisk-logo, vi skal bruge en kubik til at repræsentere sekvensen a_n.

Da en generel kubik har fire inkognitokoefficienter, kræves fire sekvensbetingelser for at løse det resulterende system. Eventuelle fire udtryk kan bruges. I dette eksempel skal vi bruge 0, 1, 2 og 3. Kør omvendt rekursion for at finde udtrykket -1^den kan give et lettere system til at løse, men det er ikke nødvendigt.

Skriv det polynomiske karakteristika for gentagelse. Dette findes ved at erstatte hver_n i gentagelsen med xⁿ og dividere med x^(N-k) forlader et polynom af grad k og en ikke-nul konstant term.

Løs den polynomiske karakteristik. I dette tilfælde har funktionen klasse 2, så vi kan bruge den kvadratiske formel til at finde sine rødder.

Løs den polynomiske karakteristik. I dette tilfælde har funktionen klasse 2, så vi kan bruge den kvadratiske formel til at finde sine rødder.kvadratisk formel for at finde sine rødder.

Ethvert udtryk for den viste form tilfredsstiller gentagelsen. C_jeg er nogen konstanter, og basen af ​​eksponenterne er rødderne for de funktioner, der findes ovenfor. Dette kan verificeres ved induktion.

• Hvis funktionen har en multiple root, vil der være en lille ændring i dette trin. Hvis r er en multiple root m, brug (c₁rⁿ + c₂nrⁿ + c₃n²rⁿ + ... + c_mn^m-1rⁿ) i stedet for blot (c₁rⁿ). For eksempel opfylder sekvensen, der starter med 5, 0, 4, 16, 144, 640, 2240, ... det tilbagevendende forhold til_n = 6a_n-1 - 12a_n-2 + 8a_n-3. Den polynomiske karakteristik har en tredobbelt rod på 2 og den lukkede form af formel a_n = 5 * 2ⁿ - 7 * n * 2ⁿ + 2 n²* 2ⁿ.

Find c_jeg opfylder de angivne oprindelige betingelser. Ligesom eksemplet på polynomet. Dette kan gøres ved at skabe et lineært system af ligninger fra de oprindelige udtryk. Da dette eksempel har to ukendte, er det nødvendigt at have to udtryk. Eventuelle to udtryk kan bruges, så vælg 0^den og 1¹ for at undgå at hæve det irrationelle nummer til en høj effekt.

Skriv en genereret funktion af sekvensen. Denne funktion er simpelthen en serie af formel styrke, hvor koefficienten x erⁿ og udtrykket n^den af sekvensen.

Håndter den genererede funktion som vist. Målet her er at finde en ligning for at løse den genererede funktion A (x). Uddrag den oprindelige sigt. Anvend gentagelsesrelationen til de resterende vilkår. Del summen. Uddrag de konstante vilkår. Brug definitionen af ​​A (x). Brug sumformlen for en geometrisk serie.

Find koefficienten for xⁿ i a (x). Metoderne til at gøre dette vil variere, afhængigt af A (x), men partikelfraktionsmetoden kombineret med at vide, hvordan man genererer funktioner i en geometrisk sekvens, fungerer her som vist.