Sådan finder du enhver term af en aritmetisk fremgang

En aritmetisk progression er en liste over tal, hvor forskellen på en af dem til den næste er en konstant værdi. For eksempel er listen over lige tal, $0 comma 2 comma 4 comma 6 comma 8$

indhold

Trin

Metode 1finde det næste udtryk i en aritmetisk rækkefølge

Video: week 2, continued

Metode 2finde et manglende begreb

Video: programming - computer science for business leaders 2016

Metode 3find den nte term for en aritmetisk sekvens

Video: senators, ambassadors, governors, republican nominee for vice president (1950s interviews)

Metode 4brug af den eksplicitte formel for mere information

Advarsler
Tips

,2,4,6,8{ displaystyle 0,2,4,6,8}

... er en aritmetisk sekvens, da forskellen fra den ene nummer til det næste er altid 2. Hvis du finder dig selv beskæftiger sig med en sekvens af denne slags, kan det være nødvendigt at finde den næste valgperiode fra listen eller fylde det, når nogle numre er mangler. Endelig skal du måske vide, for eksempel den 100. sigt, uden at skulle skrive dem alle. Nogle enkle trin kan hjælpe dig med at gøre alt dette.

trin

Metode 1
Finde det næste udtryk i en aritmetisk rækkefølge

Find forskellen mellem vilkårene (årsag). Når du finder en liste over tal, vil du ikke altid have oplysningerne om, at det er en aritmetisk progression, så du skal muligvis kontrollere. I hvert fald er det første skridt at vælge de to første på hinanden følgende udtryk fra listen. Træk den første fra den anden for at finde årsagen til progressionen.

Lad os sige, at listen er ${ displaystyle 1,4,7,10,13}$ ....trække ${ displaystyle 4-1}$ for at finde årsagen, 3.
Hvis vi har en faldende liste, som f.eks ${ displaystyle 25,21,17,13}$ ..., vil proceduren være den samme. Træk den første fra den anden, i så fald ${ displaystyle 21-25 = -4}$ .Det negative resultat betyder, at listen er i faldende rækkefølge, når den læses fra venstre mod højre. Du bør altid kontrollere, at tegn på årsag er kompatibel med rækkefølgen af tal.

Video: Week 2, continued

Sørg for, at årsagen forbliver den samme. At finde årsagen med de to første udtryk garanterer ikke, at listen er en aritmetisk fremgang. For at være sikker skal du kontrollere, om grunden forbliver hele listen. Udfør kontrollen ved at trække alle par af fortløbende numre på listen, hvis resultatet er altid det samme, vil vi have en aritmetisk progression.

Brug det samme eksempel, ${ displaystyle 1,4,7,10,13}$ ..., vælg det tredje og andet udtryk fra listen. trække ${ displaystyle 7-4}$ for at finde ud af, at forholdet fortsætter 3. For at bekræfte, fortsæt til det næste par, trækker ${ displaystyle 13-10}$
Det er muligt, at en sekvens er en aritmetisk progression op til et bestemt udtryk og ophører med at være efter det. For eksempel overveje listen over ${ displaystyle 1,2,3,6,9}$ .... Forskellen mellem de to første udtryk er 1, og dette forhold gælder, hvis vi bruger det tredje og andet udtryk. Vi finder dog en anden værdi ved at trække det tredje udtryk fra fjerde, da vi finder 3 som følge heraf. Da forskellen mellem på hinanden følgende vilkår ikke bevarer hele listen, er det ikke en aritmetisk progression.

Tilføj grund til sidste sigt. At finde det næste udtryk i sekvensen er let, skal du blot tilføje årsagen til sidste sigt i listen for at finde det næste element.

I eksemplet ${ displaystyle 1,4,7,10,13}$ ... for at finde det næste udtryk i listen, da forholdet altid er 3, skal du blot udføre tilføjelsen ${ displaystyle 13 + 3}$ 1,4,7,10,13,16,19,22,25{ displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}... og så videre.

Metode 2
Finde et manglende begreb

1
Bekræft, at dette er en aritmetisk progression. I nogle tilfælde kan du have en liste over tal med et manglende udtryk midt i det. Det første skridt forbliver - kontrollere om det virkelig er en aritmetisk progression. For at gøre dette skal du vælge et par sammenhængende udtryk, finde forskellen mellem dem og kontrollere, at forskellen er den samme for de andre par på hinanden følgende tal i listen. Hvis dette sker, kan vi antage, at listen virkelig er en aritmetisk progression, og vi fortsætter.
- Overvej listen ${ displaystyle 0,4}$ ,___, ${ displaystyle 12,16,20}$ ... for eksempel. Start med at trække fra ${ displaystyle 4-0}$ for at finde forskellen. 4. Kontroller, at denne forskel gælder for de næste vilkår, f.eks ${ displaystyle 16-12}$ .Vi finder, at årsagen forbliver den samme, så vi kan fortsætte.
2
Tilføj grund til udtrykket før plads. Det er en proces svarende til at tilføje et udtryk til slutningen af sekvensen. Først finder du termen, der er lige før, hvad der mangler, det er den "sidste", vi ved. Tilføj årsagen til det for at finde nummeret der skal fylde rummet.
- I vores eksempel, ${ displaystyle 0,4}$ ,____ ${ displaystyle 12,16,20}$ ..., er termen før plads 4 og forholdet er også 4. ${ displaystyle 4 + 4}$ for at få 8, den værdi, der skal udfyldes i blanket.
3
Træk grunden bag det udtryk, du fandt. For at sikre dig, at du har fundet det rigtige svar, skal du kontrollere den anden side. En aritmetisk progression bør holde forskellen mellem de altid konstante vilkår, uanset om du tjekker fra højre mod venstre, tilføjer årsagen til hver af de vilkår, eller fra venstre mod højre, når vi trækker den grund.
- I eksemplet, ${ displaystyle 0,4}$ ,___, ${ displaystyle 12,16,20}$ ..., udtrykket lige efter det hvide rum er 12. Træk sin grund til at finde ${ displaystyle 12-4 = 8}$ .Resultatet holder, så vi skal udfylde det tomme rum med nummer 8.
4
Video: Programming - Computer Science for Business Leaders 2016
Sammenlign resultaterne. De resultater, du fandt ved at tilføje fra venstre mod højre og trække fra den modsatte retning, skal matche. Hvis dette sker, har du fundet den korrekte værdi af det manglende udtryk. Hvis ikke, gentag beregningerne og tjek eksemplet, det kan ikke være en aritmetisk progression.
- I eksemplet resulterer de to resultater, ${ displaystyle 4 + 4}$ og ${ displaystyle 12-4}$ 8. Derfor er det manglende udtryk i denne sekvens virkelig 8. Gennemførelse af listen har vi ${ displaystyle 0,4,8,12,16,20}$ ....

Metode 3
Find den nte term for en aritmetisk sekvens

Billedbetegnelse Find enhver term af en aritmetisk sekvens Trin 1

Identificer det første udtryk i sekvensen. Ikke hver liste begynder med tallene 0 og 1. Kontroller, hvilken er den første term, da det bliver dit udgangspunkt og vil blive betegnet med variablen a (1).

Når man arbejder med aritmetiske fremskridt, er det almindeligt at betegne den første term af sekvensen med "a (1)", men selvfølgelig kan du give variablen et andet navn, resultatet bliver ikke ændret.
F.eks. Følger ${ displaystyle 3,8,13,18}$ ..., det første udtryk er ${ displaystyle 3}$

Ring forskellen mellem vilkårene eller forholdet mellem r. Først skal du finde det som vi allerede har vist. I dette eksempel er årsagen

{ displaystyle 8-3}

,som er lig med 5. Når man kontrollerer forskellen med de andre par af udtryk, holder resultatet, så kan vi sige, at r = 5.

Billedbetegnelse Find enhver term af en aritmetisk sekvens Trin 3

Brug den eksplicitte formel. En eksplicit formel er en algebraisk ligning, der kan bruges til at finde frem til et hvilket som helst udtryk for progressionen uden at skulle skrive den komplette liste. Den eksplicitte formel for en aritmetisk progression er

{ displaystyle a (n) = a (1) + (n-1) d}

Udtrykket a (n) kan læses som "den n`te led af en", hvor n er positionen på listen over det ønskede element og (n) er værdien af dette element. For eksempel, hvis du har brug for at finde den 100-sigt af en sekvens, og derefter på "n" vil være lig med 100. Bemærk, at i dette eksempel vil være på 100, men den (n) repræsenterer værdien af den hundrededel sigt, ikke selve nummeret 100.

Video: Senators, Ambassadors, Governors, Republican Nominee for Vice President (1950s Interviews)

Udskift variablerne for at løse problemet. Hvis du vil bruge den eksplicitte formel, skal du erstatte de variabler, den anmoder om at finde det ønskede udtryk.

F.eks. Følger ${ displaystyle 3,8,13,18}$ ..., vi ved, at (1), som er den første sigt, er 3, og at forholdet r er 5. Antag, at du skal finde hundrede sikt af denne sekvens. I dette tilfælde er n = 100 og (n-1) = 99. Den fuldstændige eksplicit formel efter substitution af værdierne er ${ displaystyle a (100) = 3 + (99) (5)}$ .Løsning, vi finder 498, den hundrede værdi af denne sekvens.

Metode 4
Brug af den eksplicitte formel for mere information

1
Ændr den eksplicitte formel for at finde andre variabler. Ved hjælp af formlen og simple algebraiske operationer kan du opdage forskellige oplysninger om progression. I sin oprindelige form, den(n)=den(1)+(n-1)d{ displaystyle a (n) = a (1) + (n-1) d},Formlen er parat til at opdage værdien af_n, det vil sige sekvensens nde sigt. Du kan dog manipulere det algebraisk for at finde nogen af variablerne.
- Antag for eksempel, at du vil finde sidste sigt på en liste, men ved ikke værdien af dets første element. Du kan manipulere formlen for at finde den ${ displaystyle a (1) = (n-1) d-a (n).}$
- Hvis du kender den første og sidste sigt af en aritmetisk progression, men vil vide, hvor mange udtryk der er en del af det, kan du også manipulere formlen for at finde n. Det ville se sådan ud: ${ displaystyle n = {a (n) -a (1)} {d}} + 1}$ .
- Hvis du har brug for at revidere de grundlæggende regler for algebra for at løse disse problemer, se Gør algebra øvelser eller Forenkle algebraiske udtryk.
2
Find den første periode af en sekvens. Du kan måske vide, at progressionens 50. sigt er 300, og at forskellen mellem de på hinanden følgende vilkår er 7 (forholdet), men du skal finde den første sekvens for sekvensen. Brug den ændrede eksplicit formel, der finder værdien af a (1) for at få svaret.
- Brug ligning ${ displaystyle a (1) = (n-1) d-a (n)}$ og udfyld de oplysninger, du allerede kender. Hvordan ved du, at den 50. sigt er 300, har vi n = 50, (n-1) = 49 og (n) = 300. Du også kender årsagen, r, som er 7. På denne måde får vi formlen ${ displaystyle a (1) = (49) (7) -300}$ .Fortsat vi har ${ displaystyle 343-300 = 43}$ .Snart begyndte progressionen ved nummer 43 og blev øget med 7 enheder til hvert element. Sekvensen ville se sådan ud: 43,50,57,64,71,78 ... 293,300.
3
Find størrelsen af sekvensen. Antag at du kender starten og slutningen af en aritmetisk progression, men du skal finde ud af størrelsen af den. Brug den reviderede formel n=den(n)-den(1)d+1{ displaystyle n = {a (n) -a (1)} {d}} + 1}at finde ham.
- For eksempel overveje en sekvens, der starter ved nummer 100 og stiger med 13 enheder til hvert element. Du ved også, at sidste udtryk er 2856. For at finde længden af sekvensen, brug variablerne a1 = 100, d = 13 og a (n) = 2856. Erstat disse variabler i formlen for at få ${ displaystyle n = { frac {2856-100} {13}} + 1}$ .Efter løsningen får vi ${ displaystyle n = { frac {2756} {13}} + 1}$ ,som er lig med 212 + 1, 213. Således er der 213 termer i denne rækkefølge.
- I så fald vil fremgangen se sådan ud: 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

advarsler

Der er flere typer af sekvenser, så antager ikke, at de alle vil være aritmetiske fremskridt. Kontroller altid i mindst tre eller fire par på hinanden følgende vilkår for at sikre, at årsagen forbliver den samme.