HodTari.com

Sådan løses lineære diophantin ligninger

En Diophantin ligning er en algebraisk ligning med den yderligere begrænsning, at vi kun er bekymrede for løsninger, hvor variablerne er heltal. I den "generelle" er der flere tilgange til løsning af denne type ligning (Fermats sidste sætning er en berømt diophantin ligning, der forblev uopløst i mere end 350 år.)

Imidlertid kan "lineære" diophantinligninger i form af en "x" + b "y" = c løses på en forholdsvis let måde ved hjælp af den her beskrevne algoritme. Ved hjælp af denne metode kan vi finde (4,7) som den eneste løsning i positive heltal for 31x + 8y = 180. Division i modulær aritmetik kan også udtrykkes som en lineær diophantinligning. For eksempel spørger 12/7 (mod 18) for opløsningen til 7x = 12 (mod 18) og kan omskrives som 7x = 12 + 18y eller 7x - 18y = 12. Mens nogle af disse ligninger er yderst vanskelige at løse, kan du opleve dette.

trin

Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 1
1
Hvis ikke endnu, sæt ligningen i form af ax + by = c.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 2
    2
    Anvend den euklidiske algoritme på koefficienter a og b. Dette har to formål. For det første ønsker vi at vide, om a og b har nogle faktorer til fælles. Hvis du forsøger at løse 4x + 10y = 3, kan vi hurtigt sige, at hvis venstre side altid er lige og højre altid er mærkelig, er der ingen hel løsning. Ligeledes, hvis vi havde 4x + 10y = 2, kunne vi forenkle problemet for 2x + 5y = 1. Den anden grund er: konstateret, at der findes en løsning, vi kan konstruere en fra sekvensen af ​​kvotienter opnået fra den euklidiske algoritme.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 3
    3
    Hvis "a", "b" og "c" har en faktor til fælles, så forenkles ved at dividere venstre og højre side af ligningen med denne faktor. Hvis "a" og "b" har en fælles faktor, der ikke er delt med "c", skal du stoppe. Der er ingen helheder.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 4
    4
    Lav et tre-linjers regneark, som vist i figuren.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 5
    5
    Sæt i den øverste række kvoterne for Euclids algoritme. I dette billede er det vist, hvordan opløsningen af ​​87x - 64y = 3.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 6
    6


    På de to nederste linjer, fra venstre mod højre, skal du gøre følgende: For hver celle placeres celleproduktet over den kolonne og til venstre for den tomme celle. Fyld denne celle sammen med produktet ved at tilføje værdien af ​​de to celler til venstre.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 7
    7
    Kig på de sidste to kolonner i den komplette tabel. Den endelige kolonne skal tælle "a" og "b" plus koefficienterne for ligningen i trin 3 (Hvis ikke, gennemgå dine beregninger). Den sidste kolonne indeholder to andre tal. For eksempel med den = 87 og b = 64, den næste til den sidste kolonne indeholder 34 og 25.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 8
    8
    Bemærk at 87 * 25-64 * 34 = -1. Bestemmelsen af ​​2x2-matrixen nederst til højre vil altid være mere eller mindre 1. Hvis negativ multiplicer begge sider af identiteten med -1 for at have 87 * 25 + 64 * 34 = 1. Denne observation er udgangspunktet for konstruktionen af opløsning.

  • Video: Diofantiske likninger

    Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 9
    9
    Gå tilbage til den oprindelige ligning. Omskriv identiteten af ​​det foregående trin så meget som 87 * (- 25) + 64 * (34) = 1 eller som * 87 (- 25) - 64 * (- 34) = 1. Se hvad bedre huske den oprindelige ligning. For eksempel er det andet valg at foretrække, fordi det svarer til -64-sigtet i originalen, hvor y = -34.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 10
    10
    Nu skal vi bare se på det konstante udtryk "c" på højre side af ligningen. Da ligningen ovenfor viser en løsning forx + by = 1 ved at gange begge sider med "c" for at opnå en (cx) + b (cy) = c. Hvis (-25, -34), vil vi have en løsning for 87x - 64y = 1. Således er (-75, -102) en opløsning for 87x-64y = 3.
  • Billedbetegnelse Løs en lineær diophantinligning Trin 11
    11
    Hvis en diophantinligning har nogen løsning, så har den en uendelighed af andre. Dette skyldesx + by = a (x+b) + b (y-a) = a (x+2b) + b (y-2a), og genereltx + by = a (x+kb) + b (y-ka) for ethvert heltal k. Derfor er siden (-75, -102) en løsning for 87x-64y = 3, andre løsninger er (-11, -15), (53,72), (117,159) osv. Den generelle løsning kan skrives som (53 + 64k, 72 + 87k), hvor "k" er et helt tal.

    • tips

    • Du bør kunne løse dette med blyant og papir. Regnemaskiner og beregningsark vil hjælpe dig, hvis du skal udføre større konti.
    • Tjek dit svar. Instruktionerne i trin 8 skal hjælpe dig med at fange enhver fejl i Euclids algoritme eller ved at fylde bordet. Sammenligning af det endelige svar med den oprindelige ligning bør også være nyttigt til at identificere fejl.

    Nødvendige materialer

    • Blyant og papir, måske en lommeregner.
    Del på sociale netværk:

    Relaterede
    © 2024 HodTari.com