Sådan finder du ligningen af en tangentlinje til kurven

I modsætning til den lige linje ændres kurvens hældning konstant, når den bevæger sig langs grafen. Calculus præsenterer eleverne med begrebet om, at hvert punkt i denne graf kan beskrives som en skråning eller en "øjeblikkelig forandringshastighed". Tangentlinjen er en lige linje i forhold til den hældning, der passerer gennem det samme punkt i grafen. For at finde ud af, hvad tangentligningen er, skal du vide, hvordan du ekstraherer derivatet af den oprindelige ligning.

indhold

Trin

Metode 1finde ligningen af en tangent

Video: bestemmelse af tangentligning i nspire

Metode 2fejlfinding relaterede problemer

Video: differentialregning l20.5 - bestem ligningen for tangent til graf for funktion uden cas
Video: tangent for funktion i kendt punkt i ti-nspire cas
Tips

trin

Metode 1
Finde ligningen af en tangent

Skitse funktionen og tangenten (anbefales). Diagrammet hjælper med at spore problemet og se, om svaret giver mening. Skitse funktionen på et stykke grafpapir, ved hjælp af en grafisk regnemaskine, hvis det er nødvendigt. Tegn tangenten, der passerer gennem det givne punkt (husk at det går gennem dette punkt og har samme hældning af grafen på det sted).

Eksempel 1: Skitse lignerdiagrammet ${ displaystyle f (x) = 0,5x2 + 3x-1}$ .Tegn tangenten, der passerer gennem punktet (-6, 1).
Du kender ikke ligningen for tangenten, men du kan se, at hældningen er negativ og dens y-aksen er også negativ (et godt stykke under toppunktet på parablen, med en værdi af y = -5,5). Hvis dit endelige svar er ikke lig med disse oplysninger, kan du tjekke beregningerne for fejl.

Billedbetegnelse Find ligningen for en tangentlinie Trin 2

Få førstordens derivat til at finde ligningen af hældning af tangenten. For funktionen f (x) repræsenterer det første derivat f `(x) hældningsligningen for tangenten på et hvilket som helst punkt i f (x). Der er mange måder at at udlede. Her er et simpelt eksempel, der bruger strømreglen:

Eksempel 1 (forts.): grafen er beskrevet af funktionen ${ displaystyle f (x) = 0,5x2 + 3x-1}$
Husk magtstyrken ved fremstilling af derivater: ${ displaystyle { frac {d} {dx}} x n = nx n-1}$ .
Den første derivat af funktionen vil være lig med f `(x) = (2) (0,5) x + 3 - 0.
f `(x) = x + 3. Indtast en værdi `a` til x, og resultatet af denne ligning er lig med tangenten af hældningen af f (x) i det punkt, hvor x = a.

Video: Bestemmelse af tangentligning i Nspire

Billedbetegnelse Find ligningen for en tangentlinie Trin 3

Indtast x-værdien af det punkt, der skal undersøges. Læs problemet for at finde koordinaterne for det punkt, hvis tangent du vil finde ud af. Indtast x-koordinatet for dette punkt i f `(x). Resultatet bliver tangens hældning på det tidspunkt.

Eksempel 1 (forts.): punktet nævnt i problemet er (-6, -1). Brug x = -6 koordinaten som den uafhængige variable værdi ved f `(x):
f `(- 6) = -6 + 3 = -3
Tangens hældning er lig med -3.

Billedbetegnelse Find ligningen for en tangentlinie Trin 4

Skriv ækvationen af tangenten i den grundlæggende form. Den grundlæggende form af en lineær ligning er repræsenteret af

{ displaystyle y-y1 = m (x-x1)}

m repræsenterer hældningen (vinkelkoefficienten på linien) og

{ displaystyle (x1, y1)}

repræsenterer et punkt på linjen. Nu har du alle de oplysninger, du har brug for til at skrive tangentligningen i denne formular.

Eksempel 1 (forts.): ${ displaystyle y-y1 = m (x-x1)}$
Linjens vinkelkoefficient er lig med -3 og derfor ${ displaystyle y-y1 = -3 (x-x1)}$ .
Tangenten passerer gennem punktet (-6, -1), således at den endelige ligning kan repræsenteres af ${ displaystyle og - (- 1) = - 3 (x - (- 6))}$ .
Forenkle det for ${ displaystyle og +1 = -3x-18}$
${ displaystyle y = -3x-19}$ .

Billedbetegnelse Find ligningen for en tangentlinie Trin 5

Bekræft ligningen i din graf. Hvis du har en grafisk regnemaskine, skal du montere den oprindelige funktion og tangent for at kontrollere, at resultatet er korrekt. Hvis du arbejder på papiret, skal du gå tilbage til det foregående grafik for at sikre, at der ikke er fejl i svaret.

Eksempel 1 (forts.): den indledende skitse afslørede, at tangens hældning var negativ, og interceptet y var godt under -5,5. Den tangentligning, vi finder, er repræsenteret ved y = -3x - 19 i den grundlæggende form, hvilket indikerer at -3 repræsenterer hældningen og -19, interceptet y. Begge attributter er de samme som de oprindelige forudsigelser.

Billedbetegnelse Find ligningen for en tangentlinie Trin 6

Prøv at løse et vanskeligere problem. Her er en opfølgning af hele processen igen. Nu er målet at finde tangentet til

{ displaystyle f (x) = x3 + 2x2 + 5x + 1}

i x = 2:

Med kraftreglen vil det første derivat være lig med ${ displaystyle f `(x) = 3x2 + 4x + 5}$ .Denne funktion viser os hældningen af tangenten.
Siden x = 2 finder du $(2) = 3 (2) 2 + 4 (2) + 5 = 25)$ .Dette er funktionshældningen, når x = 2.
Bemærk at vi ikke har pointværdien på dette tidspunkt, men kun en x-koordinat. For at finde ud af, hvad y-koordinaten er, indtast x = 2 i den indledende funktion: $(2) = 2 3 + 2 (2) 2 + 5 (2) + 1 = 27)$ .Pointen vil være (2,27).
Skriv ligningens ligning i den grundlæggende form: ${ displaystyle y-y1 = m (x-x1)}$
${ displaystyle y-27 = 25 (x-2)}$
Om nødvendigt forenkle det til y = 25x - 23.

Metode 2
Fejlfinding relaterede problemer

Billedbetegnelse Find ligningen for en tangentlinie Trin 7

Video: Differentialregning L20.5 - Bestem ligningen for tangent til graf for funktion uden cas

Video: Tangent for funktion i kendt punkt i TI-nspire CAS

Find de ekstreme punkter i et diagram. Dette er de punkter, hvor grafen når et lokalt maksimum (point højere end punkterne på begge sider) eller et lokalt minimum (lavere end alle punkter på begge sider). Tangenten vil altid have en hældning svarende til 0 på disse punkter (vandret linje), hvilket ikke nødvendigvis angiver et ekstremt punkt. Lær hvordan du finder dem her:

Find den første afledning af funktionen for at opnå f `(x), ligningen for hældningen af tangenten.
Løs f `(x) = 0 for at finde muligt endepunkter.
Tag det andet derivat for at få f `` (x), ligningen, der fortæller dig, hvor hurtigt hældningen af tangenten ændres.
For hvert muligt endepunkt skal du indtaste koordinaten x = den i f "(a). Hvis værdien af f `` (a) er positiv, er der et lokalt minimum i den. Hvis værdien af f `` (a) er negativ, er den et lokalt maksimum. Hvis værdien af f `` (a) er lig med 0, er der et bøjningspunkt, ikke et slutpunkt.
Hvis der er et maksimum eller et minimum i den, find værdien af f `` (a) for at finde koordinaten y.

Billedbetegnelse Find ligningen for en tangentlinie Trin 8

Find ligningen af normal. Den "normale" af en hældning på et bestemt punkt går gennem dette punkt, men har en skråning vinkelret på en tangent. At finde den normale ligning, drage fordel af den kendsgerning, at produktet (hældningen af tangenten). (Hældning af normal) = -1 når begge gå gennem det samme punkt på grafen. Med andre ord:

Find f `(x), tangens hældning.
Hvis punktet er ved x = den, find f `(a) for at finde hældningen af tangenten på den pågældende placering.
Beregn ${ displaystyle { frac {-1} {f `(a)}}}$ at finde hældningen af normal.
Skriv den normale ligning i den grundlæggende form.