Sådan spredes logaritmer

Logaritmer synes at være komplicerede, men som eksponenter og polynomier er det nok at lære de rigtige teknikker til at dominere dem. Du skal lære nogle grundlæggende egenskaber, såsom at dele logaritmer fra samme base eller udvidende logaritmer, der indeholder et kvotient.

indhold

Trin

Metode 1manuel deling af logaritmer

Video: comptonspredning 1
Video: histogram og middelværdi

Metode 2manipulering af en kvotients logaritme

trin

Metode 1
Manuel deling af logaritmer

Video: Comptonspredning 1

Billede med titlen Divider Logaritmer Trin 1

Se efter negative tal og tal "1". Denne metode vil løse problemer i

{ log b {(x)} { log b {a}}}

.Det dækker dog ikke nogle særlige tilfælde:

Logaritmen for et negativt tal er udefineret for alle baser (f.eks ${ displaystyle log (-3)}$ eller ${ displaystyle log4 (-5)}$ ). Svar "ingen løsning".
Logaritmen på nul er også ubestemt for alle baser. Når du ser et udtryk som ${ displaystyle ln (0)}$ ,skriv "ingen løsning".
Logaritmen på 1 på ethvert grundlag ( ${ displaystyle log (1)}$ ) vil altid være nul fordi ${ displaystyle x ^ {0} = 1}$ background-repeat: no-repeat-mw-math-fallback-image-inline "baggrundsbillede: baggrund-size: 100% 100% - vertical-align: -0.338ex-højde: 2.676ex- bredde: 6.684ex- "aria-hidden =" true ">for alle er værdier af x. Udskift den logaritme med 1 i stedet for at bruge metoden nedenfor.
Hvis to logaritmer har forskellige baser, f.eks ${ display {log3 {x}} {log4} (a)}}}$

Billede med titlen Divider Logaritmer Trin 2

Video: Histogram og middelværdi

Konverter udtrykket til kun en logaritme. Hvis du ikke opfyldte nogen af ovenstående undtagelser, skal du forenkle udtrykket i en enkelt logaritme. For at gøre dette skal du bruge formlen

{ log {b} (x)} { log b (a)}} = log a {x}}

Eksempel 1: Løs problemet ${ log {2} { log {2}}$ .
Begynd ved at konvertere udtrykket til kun en logaritme anvendt i ovenstående formel: ${ log {2} { log {16}} { log {2}} = log2 {16}}$ .
Dette er "basisændringsformlen" afledt af logaritmiske egenskaber.

Billedbetegnelse Deltag Logaritmer Trin 3

Beregn manuelt, hvis det er muligt. Husk at løse

{ displaystyle log a (x)}

,tænk på "

{ displaystyle a? = x}

"det vil sige", hvilken eksponent skal jeg hæve den at opnå x?"Det er ikke altid muligt at udføre denne beregning uden en regnemaskine, men med lidt held kan du muligvis forenkle logaritmen.

Eksempel 1 (fortsat): omskrivning ${ displaystyle log2 (16)}$ som ${ displaystyle 2? = 16}$ .Værdien af "?" er svaret på problemet. Du kan finde det ved hjælp af prøve- og fejlmetoden:
${ displaystyle 2 2 = 2 * 2 = 4}$
${ displaystyle 2 3 = 4 * 2 = 8}$
${ displaystyle 2 4 = 8 * 2 = 16}$
16 er det, vi leder efter ${ displaystyle log2 (16)}$ = 4.

Billede med titlen Divider Logaritmer Trin 4

Forlad svaret i logaritmisk form, hvis du ikke kan forenkle det. Nogle logaritmer er meget vanskelige at løse manuelt. I disse tilfælde skal du bruge en lommeregner til at få en nøjagtig værdi, der kan bruges i praksis. Hvis du løser spørgsmål i din matematik klasse, vil læreren sandsynligvis give dig mulighed for at forlade svaret i logaritmisk form. Her er et mere komplekst eksempel på at anvende denne metode:

Eksempel 2: Hvornår er det værd ${ log3 {58}} { log3 {7}$ ?
Konverter udtrykket til en enkelt logaritme: ${ log3} (58) { log3 (7)} = log7 (58)}$ (se, at ₃ af hver initial log forsvandt, gælder dette på ethvert grundlag).
Omskrive udtrykket som ${ displaystyle 7? = 58}$ og tjek de mulige værdier for "?" ":
${ displaystyle 7 2 = 7 * 7 = 49}$
${ displaystyle 7 3 = 49 * 7 = 343}$
Da 58 er mellem disse to tal, ${ displaystyle log7 (58)}$ har ikke en hel løsning.
Forlad svaret i formularen ${ displaystyle log7 (58)}$ .

Metode 2
Manipulering af en kvotients logaritme

Billede med titlen Divider Logaritmer Trin 5

Lad os starte med et eksempel, der bringer en opdeling i logaritmen. Dette afsnit hjælper dig med at løse problemer med udtryk i formularen

{ displaystyle log a ({ frac {x} {y}}}}

For eksempel, start med dette problem:
"Opdag værdien af at kende det ${ displaystyle log3 ({ frac {27} {6n}}) = - 6- log3 (6)}$ ".

Billedbetegnelse Deltag Logaritmer Trin 6

Hold øje med de negative tal. Logaritmen for et negativt tal er udefineret. Hvis x eller y er negative tal, skal du kontrollere en løsning på problemet, inden du fortsætter:

Hvis x eller y er negativ, der er ingen løsning på problemet.
hvis de to er negative, fjern de negative tegn ved hjælp af ejendommen ${ display {x} {y}}$
Der er ingen logaritmer af negative tal i vores eksempel, så vi kan fortsætte til næste trin.

Billedbetegnelse Deltag Logaritmer Trin 7

Udvid kvotienten i to logaritmer. En meget nyttig egenskab af logaritmer er beskrevet af formlen

{ Displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}}) = {a} _ log (x) - _} til {log (y)}

.Det vil sige, at en kvoters logaritme altid er lig med tællerens logaritme minus nævnerenes logaritme.

Brug denne egenskab til at udvide venstre side af problemet:
${ Displaystyle log _ {3} ({ frac {27}}} {6n) = _ log {3} (27) - _ {3} log (6n)}$
Lav nu følgende substitution i den oprindelige ligning:
${ displaystyle log3 ({ frac {27} {6n}}) = - 6- log3 (6)}$
→
${ displaystyle log3 (27) - log3 (6n) = - 6 log3 (6)}$

Billedbetegnelse Deltag Logaritmer Trin 8

Hvis det er muligt, forenkle logaritmer. Hvis nogen af logaritmerne af udtrykket har et heltal, skal du forenkle det nu.

Eksempelproblemet har et nyt udtryk: ${ displaystyle log3 (27)}$ .Siden 3³ = 27, forenkle ${ displaystyle log3 (27)}$ til 3.
Den fuldstændige ligning er nu:
${ displaystyle 3- log3 (6n) = -6-log3 (6)}$

Billedbetegnelse Deltag Logaritmer Trin 9

Isolér variablen. Som i et algebra problem er idealet at isolere variablen på den ene side af ligningen. Kombiner termer, når det er muligt, for at forenkle udtrykket.

${ displaystyle 3- log3 (6n) = -6-log3 (6)}$
${ displaystyle 9- log3 (6n) = - log3 (6)}$
${ displaystyle log3 (6n) = 9 + log3 (6)}$ .

Billede med titlen Divider Logaritmer Trin 10

Brug andre egenskaber ved logaritmer, når det er nødvendigt. For at isolere variablen, når der er andre udtryk inden for samme logaritme, omskrive begrebet ved hjælp af andre egenskaber.

I eksemplet er n stadig fanget inden for sigtet ${ displaystyle log3 (6n)}$ .
At isolere n, Brug produktegenskaberne af logaritmer: ${ displaystyle log a (bc) = log a (b) + log {a} (c)}$
${ displaystyle log3 (6n) = log3 (6) + log3 (n)}$
Lav substitutionen i den oprindelige ligning:
${ displaystyle log3 (6n) = 9 + log3 (6)}$
${ displaystyle log3 (6) + log3 (n) = 9 + log3 (6)}$

Billedbetegnelse Deltag Logaritmer Trin 11

Fortsæt forenkling, indtil du finder løsningen. Gentag de samme algebraiske og logaritmiske teknikker for at løse problemet. Hvis der ikke findes nogen rigtig løsning, skal du bruge en lommeregner og Lav en afrunding til nærmeste nummer.