Sådan opdager du området for en Isosceles Triangle

Den ulige trekant har to lige sider, som altid ligger i samme vinkel til bunden (den tredje side) og direkte over midten af den. At afgøre, om en genstand af typen er samme

indhold

Trin

Metode 1bestemmelse af området fra længden af siderne
Metode 2brug af trigonometriske egenskaber

Tips
Kilder og citater

ensartede, brug bare en lineal og to blyanter af samme længde: Hvis du forsøger at vippe geometrisk form i en hvilken som helst retning, vil graffitiens tips ikke lyve. På grund af disse specielle egenskaber er det muligt at beregne arealet af en ensartet trekant fra nogle grundlæggende oplysninger.

trin

Metode 1
Bestemmelse af området fra længden af siderne

Tænk på området for parallelogrammet. Ethvert objekt, der har to par parallelle sider og i alt fire sider - fx kvadrater og rektangler - er parallelogrammer. Alle typer former har samme enkle områdeformel: basistider højde eller A = b * h. Hvis objektet er anbragt på en vandret overflade, svarer basen til længden af den side, hvorpå den hviler. Højden er igen afstanden fra bunden til toppen og bevæger sig væk fra selve overfladen. Mål altid denne værdi i en ret vinkel (90 °) til bunden.

I kvadrater og rektangler er højden lig med længden af en af de vertikale sider, da de ligger vinkelret på bunden.

Billedbetegnelse Find området for en Isosceles Triangle Trin 2

Sammenlign trekant til parallelogrammet. Forholdet mellem disse to former er simpelt: hvis der skæres diagonalt i midten, giver et hvilket som helst parallelogram anledning til to lige trekant. Det modsatte er også gyldigt: når der er to identiske trekanter, kan man slutte sig til dem for at danne et parallelogram. I denne forstand er områdets formel for enhver trekant A = b * h / 2 - Nøjagtig halvdelen af størrelsen af et tilsvarende parallelogram.

Billedbetegnelse Find området for en isosceles-triangel Trin 3

Bestem basisværdien af den samme ensartede trekant. Med formlen i hånden er det tid til at tænke: Hvad betyder "base" og "højde" i forhold til trekanten? Basen er let, da den svarer til den eneste side af forskellige formforanstaltninger.

For eksempel: i en ensartet trekant af sider, der måler 5, 5 og 6 cm, er bunden siden af 6.
Hvis trekanten har lige sider (ligesidet), kan nogen af dem være bunden. Equilaterale trekanter er en speciel type isosceles, men man kan bruge den samme formel i området.

Billedbetegnelse Find området med en Isosceles Triangle Trin 4

Tegn en linje mellem bunden og den modsatte vinkel (den rigtige vinkel). Det bestemmer højden af objektet - mærket det med brevet h. Efter beregning af værdien af h, du vil være i stand til at bestemme området.

I den ensomme trekant er denne linje altid i den nøjagtige midten af basen.

Billedbetegnelse Find området med en isosceles-triangel Trin 5

Undersøg en af halvdelene af den isosceles trekant. Bemærk at højde linjen delte objektet i to identiske rektangler. Identificer de tre sider af en af dem:

En af de mindre sider er halvdelen af basen: ${ displaystyle { frac {b} {2}}}$ .
Den anden mindre side er lig med højden (h).
Hypotensen af den rigtige trekant er en af de to lige sider af de samme celler. Her kan det identificeres som s.

Billedbetegnelse Find området med en Isosceles Triangle Trin 6

Monter Pythagoras sætning. Når du har den dobbeltsidige værdi af en rigtig trekant, kan du bruge sætningen til at bestemme den tredje: (Hue / Side 1)² + (ben / side 2)² = (hypotenuse)². Hvis variablerne af dette problem er placeret på deres rette steder, ser kontoen sådan ud:

{ displaystyle ({b} {2}} 2 + h 2 = s 2}

Du så sandsynligvis Pythagoras sætning i skole som ${ displaystyle a2 + b2 = c2}$ .At skrive det som "hicks" og "hypotenuse" undgår forvirring med trekantvariablerne.

Billedbetegnelse Find området med en isosceles-triangel Trin 7

Bestem værdien af h. Husk at formlen i området bruger b og h, men du har stadig ikke værdien af h. Omforme det for at finde løsningen:

${ displaystyle ({b} {2}} 2 + h 2 = s 2}$
${ displaystyle h 2 = s 2 - ({b} {2}} 2}$
${ displaystyle h = { sqrt {(}} s 2 - ({b} {2}} 2}}}$ .

Billedbetegnelse Find området for en Isosceles Triangle Trin 8

Saml ligningen med værdierne for trekanten for at bestemme h. Nu hvor du ved, hvilken formel du skal bruge, kan du anvende den på et ensartet trekant, hvis sider du allerede kender. Du skal blot sætte værdien af basen i stedet for b og den ene side er lige i s.

For eksempel, hvis du har en ensartet trekant på 5, 5 og 6 cm sider, gør: b = 6 og s = 5.
Udskift dem i formlen:
${ displaystyle h = { sqrt {(}} s 2 - ({b} {2}} 2}}}$
${ displaystyle h = { sqrt {(2) - {{2} {2}}}$
${ displaystyle h = { sqrt {(25.32)}}$
${ displaystyle h = { sqrt {(}} 25-9)}$
${ displaystyle h = { sqrt {16}}$
${ displaystyle h = 4}$ cm.

Billedbetegnelse Find området for en Isosceles Triangle Trin 9

Saml områdets ligning med basis- og højdeværdierne. Nu har du de nødvendige for at bruge formlen præsenteret i begyndelsen af dette afsnit dаta: areal = b * h / 2. Bare sætte beh værdier i det at finde svaret, som bør være i firkantede enheder (meter, centimeter firkantet etc. ).

Stadig i eksemplet på trekanten på 5, 5 og 6 cm ville basen have 6 cm og højden ville være 4.
A = b * h / 2
A = (6 cm) * (4 cm) / 2
A = 12cm².

Billedbetegnelse Find området for en Isosceles Triangle Trin 10

Prøv at bestemme området for et vanskeligere eksempel. De fleste problemer, der involverer isosceles-trekanter, er mere komplicerede end eksemplet ovenfor. Højden rapporteres normalt i kvadratroden, og kan således ikke forenkles til et heltal. Hvis dette er tilfældet, prøv mindst forenkle selve roden. se:

Hvad er området for en trekant, hvis sider måler 8, 8 og 4 centimeter?
Brug forskellige målesider, 4 cm, som bunden (b).
højde ${ displaystyle h = { sqrt {8 2 - ({4} {2}} 2}}}$
${ displaystyle = { sqrt {64-4}}}$
${ displaystyle = { sqrt {60}}}$
Faktor kvadratroden for at forenkle det: ${ Displaystyle = {h sqrt {60}} = { * sqrt {4} = {15} sqrt {4}} { sqrt {15} = 2 {} sqrt {15}}.}$
område ${ displaystyle = { frac {1} {2}} bh}$
${ displaystyle = { frac {1} {2}} {4} (2 { sqrt {15}}}}$
${ displaystyle = 4 { sqrt {15}}}$
Efterlad svaret herpå eller skriv det i en lommeregner for at finde en omtrentlig decimalværdi (ca. 15,49 kvadratcentimeter).

Metode 2
Brug af trigonometriske egenskaber

Billedbetegnelse Find området for en Isosceles Triangle Trin 11

Start med en side og en vinkel. Hvis du forstår trigonometri, Du kan bestemme området for den ensidige trekant, selvom det ikke har værdien af siderne. Se eksemplet nedenfor:

De to lige sider har længde (s) på 10 centimeter.
Vinklen θ mellem de to lige sider er 120 °.

Billedbetegnelse Find området for en Isosceles Triangle Trin 12

Opdel det ensomme trekant i to trekantsrektangler. Tegn en linje fra vertexet mellem siderne, der er lig med bunden af den rigtige vinkel for at generere to former af samme område.

Denne linje deler θ i midten. Hver halvdel har en vinkel på θ / 2 - i dette tilfælde 120/2 = 60 °.

Billedbetegnelse Find området med en isosceles-triangel Trin 13

Brug trigonometriske egenskaber til at bestemme værdien af h. Nu hvor du har et rektangel-trekant, kan du bruge trigonometriske funktionaliteter fra sinus, cosinus og tangent. I eksemplet har vi hypotenuse og vi vil finde værdien af h, siden støder op til den vinkel, hvis længde vi allerede kender. Brug det faktum, at cosinus = tilstødende vinkel / hypotenuse for at finde svaret:

Cos (θ / 2) = h / s
Cos (60 °) = h / 10
H = 10 ° C (60 °)

Billedbetegnelse Find området med en Isosceles Triangle Trin 14

Find ud af værdien af den resterende side. Der er stadig en værdi, der skal bestemmes, hvilket kan kaldes x. Løs det ved hjælp af sinus = modsatte vinkel / hypotenuse definition:

Sen (θ / 2) = x / s
Sen (60 °) = x / 10
X = 10 sek (60 °)

Billedbetegnelse Find området med en isosceles-triangel Trin 15

Find relationen mellem x og bunden af den ensidige trekant. Nu kan du analysere hele billedet. Dens samlede base, b, er lig med 2x, da den blev opdelt i to segmenter, hver især værd x.

Billedbetegnelse Find området med en isosceles-triangel Trin 16

Tag værdierne af b og h til den grundlæggende formel af området. Nu hvor du har base og højde, kan du bruge A = b * h / 2.

A = b * h / 2
= (2x) * (10cos60 °) / 2
= (10 ° -60 °) * (10 ° -60 °)
= 100 (60 °) cos (60 °)
Alternativt passerer værdierne til en lommeregner (i grader) for at nå responset af 43,3 kvadratcentimeter eller brug trigonometriske egenskaber til at forenkle udtrykket for A = 50sen (120 °).

Billedbetegnelse Find området for en Isosceles Triangle Trin 17

Lav formlen universel. Nu hvor du kan løse problemet, kan du bruge den generelle formel uden at gå igennem hele processen med hver øvelse. Hvis du følger disse trin uden at bruge bestemte værdier (og forenkle alt ved hjælp af trigonometriske egenskaber), får du følgende resultat:

A = s² * senθ
S er længden af en af to lige sider.
θ er vinklen mellem de to lige sider.

tips

Det er nemmere at bestemme arealet af et ligesindet rektangel trekant (to lige sider og en 90 ° vinkel). Du kan bruge en af de mindre sider som bunden og den anden som højden. Nu bliver formlen A = b * h / 2 forenklet som s² / 2, hvor s er længden af en af de mindre sider.
Kvadratrødder har to løsninger, en positiv og en negativ. I geometri kan man ignorere den negative rod, da der for eksempel ikke er nogen trekant med "negativ højde".
Nogle trigonometriproblemer kan give andre oplysninger i erklæringen, såsom bundens længde og en vinkel (og det faktum, at trekanten er enslig). Den grundlæggende strategi er den samme: divider det ensfarvede trekant i to rektangler og bestemm højden ved hjælp af trigonometriske funktioner.