Sådan beregnes odds for flere data

Mange tror, at hvis du ruller tre terninger fra seks sider, er chancerne for at tage så meget som en tre til ti de samme. Dette er dog ikke tilfældet, og denne artikel vil vise dig, hvordan du beregner middel- og standardafvigelsen for et datasæt.

indhold

Trin

Metode 1tælling
Metode 2rekursion
Metode 3genererende funktioner
Metode 4kontinuerlig tilgang

Advarsler
Kilder og citater

Lær terminologi af datamekanik. Dataene generelt har seks sider, men er også almindeligt forekommende i form d2 (mønter) d4 (3-sidet pyramide), d8 (oktaeder), d10 (decahedron), d12 (polyhedron) og d20 (isocaedro). En terningkast følger formatet (antal data) (identifier navn givet), så det ville være en 2D6 rulle to seks-sidede terninger. I denne artikel vil nogle formler antage det n = antal identiske data og r = antal sider hver dør, nummereret fra 1 til r, er k værdien af kombinationen. Der er flere metoder til beregning af sandsynligheden for hver sum.

trin

Metode 1
tælling

Bemærk antallet af data, dets sider og den ønskede sum.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 2

Angiv alle måder, hvorpå summen kan opnås. Dette kan være kedeligt, når der er et stort antal data, men det er ret simpelt. Dette svarer til at finde alle partitioner af k, i nøjagtigt n dele, med ingen større end r. Et eksempel på n = 5, r = 6 og k = 12 er vist som en vejledning. For at sikre at tællingen er udtømmende, og at intet tælles to gange, vises partitionerne i leksikografisk rækkefølge og dataene i hver partition i stigende rækkefølge.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 3

Ikke alle partitioner, der er angivet i det foregående trin, er lige så sandsynlige. Det er derfor, de bør noteres, ikke blot tælles. I et eksempel med et data vender 3, dækslet 6 partição123 muligheder (123, 132, 213, 231, 312, 321) som en tredje partition 114 kun omslag (114, 141, 411) og 222 omfatter kun sig selv. Brug den multinomiale formel til at beregne antallet af måder at bytte cifrene på hver partition. Disse oplysninger er blevet tilføjet til tabellen i foregående afsnit.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 4

Tilføj det samlede antal måder at få det ønskede beløb til.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 5

Opdel efter det samlede antal resultater. Da hver data har r lige så sandsynlige ansigter, er dette simpelthen svarende til rⁿ.

Metode 2
rekursion

Denne metode giver sandsynligheden for alle summer for alle mængder data. Det kan nemt implementeres i et regneark.

Billedbetegnelse Beregn flere tærskelværdier Trin 6

Skriv ned sandsynligheden for resultater fra en enkelt dør. Gem til et regneark. Det viste eksempel bruger en 6-sidet die. De tomme linjer for de negative værdier behandles som nuller og tillader, at den samme formel anvendes på alle rækker.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 7

I den 2-datasøjle skal du bruge den viste formel. Det vil sige, sandsynligheden for, at 2 data, der viser et hvilket som helst sum k, er lig med summen af de følgende hændelser. For meget høje eller lave værdier af k, kan nogle af disse udtryk (eller alle af dem) være nul, men formlen gælder for alle k.

De første data viser k-1 og den anden viser 1.
De første data viser k-2 og den anden viser 2.
De første data viser k-3 og den anden viser 3.
De første data viser k-4 og den anden viser 4.
De første data viser k-5 og den anden viser 5.
De første data viser k-6 og den anden viser 6.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 8

På samme måde gælder for tre eller flere terninger, at den samme formel stadig anvendes ved anvendelse af de kendte sandsynligheder for hver given sum med en given minus. Således kan formlen indsat i det andet trin fyldes hvor som helst, indtil tabellen indeholder begge data efter behov.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 9

Det viste regneark har beregnet antallet af former, ikke sandsynligheden, men konverteringen mellem begge er let: sandsynlighed = antal former / r ^ n, der er r Antallet af sider af hver dør og n Antallet af data. Alternativt kan regnearket modificeres for at beregne sandsynligheden direkte.

Metode 3
Genererende funktioner

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 10

Skriv polynomet (1 / N) (x + x² + x^r). Dette er den genererende funktion for en enkelt die. Koefficienten for udtrykket x^k er sandsynligheden for, at dataene viser k.

Billedbetegnelse Beregn flere terninger Problemer Trin 11

Hæv dette polynomial til den nte effekt for at opnå den tilsvarende genererende funktion af summen angivet i n dataene. Det er: (1 / Nⁿ) (x + x² + x^r)ⁿ. Hvis n er større end ca. 2, vil du sandsynligvis gerne gøre det på en computer.

Billedets titel Beregning af flere terninger Problemer Trin 12

Computationalally svarer dette til den tidligere metode, men de teoretiske resultater er undertiden lettere at udlede med en genererende funktion. For eksempel spiller to regulære data 6 flader har nøjagtig samme fordeling af beløb, at en given mærket (1, 2, 2, 3, 3, 4) og en anden mærket (1, 3, 4, 5, 6, 8 ). Dette skyldes (x + x² +x²+x³+x³+x⁴) (x + x³ +x⁴+x⁵+x⁶+x⁸) = (x + x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶) (x + x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶).

Metode 4
Kontinuerlig tilgang

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 13

For et stort antal data kan eksakt beregning ved ovennævnte metoder være vanskelig. Den centrale grænsestudie angiver, at summen af en serie af identiske data nærmer sig en normal fordeling, da antallet af data stiger.

Billedbetegnelse Beregn flere mulige tærskelværdier Trin 14

Beregn middel- og standardvariationen ud fra antallet og typen af data. Forudsat n nummererede data fra 1 til r gælder for formlerne nedenfor.

Middelværdien er (r + 1) / 2.
Variansen er n (r ^ 2-1) / 12.
Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen.

Billedbetegnelse Beregn flere terninger Problemer Trin 15

Brug den normale fordeling med middel- og standardafvigelsen ovenfor som en tilnærmelse af summen af dataene.

advarsler

Brug af mere end en datatype komplicerer disse metoder. I dette tilfælde er den nemmeste måde at bestemme sandsynlighed ved generelt at notere alle mulige resultater og arrangere dem i stigende rækkefølge af deres samlede.