HodTari.com

Sådan faktor Trinomials

Et trinomial er et algebraisk udtryk sammensat af tre udtryk. Du vil nok lære at faktorere kvadratiske trinomier, som er trinomialer skrevet i form-axen2

+ bx + c. Der er flere tricks, der kan anvendes til forskellige typer kvadratiske trinomier, men du vil blive bedre og hurtigere med praksis. Polynomierne i større grader, med udtryk som3 eller x4, kan ikke altid løses med de samme metoder, men du kan ofte ty til simple faktorisering eller substitution af udtryk for at gøre dem til problemer, der kan løses med en kvadratisk formel.

trin

Metode 1
Factoring x2 + bx + c

Billede med titlen Factor Trinomials Trin 1
1
Lær den distributive ejendom (også kendt som FOIL på engelsk), at formere udtryk som (x + 2) (x + 4). Før du begynder at faktorisere, er det godt at vide, hvordan dette virker:
  • Multiplicere 1. vilkår: (x+2) (x+4) = x2 + __
  • Multiplicere betingelserne for ud: (x+2) (x +4) = x2+4x + __
  • Multiplicere betingelserne for inden: (x +2) (x+4) = x2+4x +2x + __
  • Multiplicere sidste vilkår: (x +2) (x +4) = x2+4x + 2x +8
  • Forenkle: x2+4x + 2x+8 = x2+6x+8
  • Billedbetegnelse Factor Trinomials Trin 2
    2
    Forstå faktorisering. Når du multiplicerer to binomials med hinanden ved hjælp af distributivet, slutter du med et trinomialt (et udtryk med tre udtryk) i formularen denx2+bx +c, hvor "a", "b" og "c" er almindelige tal. Hvis du starter med en ligning på samme måde, kan du faktorere det tilbage i to binomials.
    • Hvis ligningen ikke er skrevet i den rækkefølge, skal du tage vilkårene til den rigtige position. For eksempel, omskrive 3x - 10 + x2 som x2 + 3x - 10.
    • Som den største eksponent er 2 (x2, dette udtryk kaldes "kvadratisk".
  • Billedbetegnelse Factor Trinomials Trin 3
    3
    Reserve en plads til svaret på den viste metode. For nu, skriv bare (__ __) i rummet dedikeret til svaret. Vi udfylder disse felter snart.
    • Udsæt ikke tegn på + eller - mellem betingelserne i hvid endnu, som vi ikke ved, hvilken vil blive brugt.
  • Billede med titlen Factor Trinomials Trin 4
    4
    Udfyld de første få vilkår. I enkle problemer, hvor den første term af dens trinomiale kun er x2, Vilkårene for den første overskrift vil altid være x og x. Dette er faktorerne for x2, fordi x gange x = x2.
    • Vores eksempel, x2 + 3x - 10, starter med x2, så vi kan skrive:
    • (x __) (x __)
    • Vi vil se på mere detaljerede problemer i næste afsnit, herunder trinomials, der starter med et udtryk som 6x2eller -x2. Følg nu eksemplet problemet.
  • Billedbetegnelse Factor Trinomials Trin 5
    5
    Brug factoring til at gætte de sidste par vilkår. Hvis du går tilbage og genlæser den metode, du brugte i begyndelsen, vil du se at multiplicere de sidste udtryk giver sluttermen i polynomet (den uden x). Derfor skal vi finde to tal, der multiplicerer for at danne det sidste udtryk, for at faktorisere.
    • I vores eksempel, x2 + 3x - 10, sidste sigt er -10.
    • Hvad er de -10 faktorer? Hvilke to tal multipliceres sammen resulterer i -10?
    • Der er nogle muligheder: -1 gange 10, 1 gang -10, -2 gange 5 eller 2 gange -5. Skriv ned disse par et sted, så du ikke glemmer.
    • Du må ikke ændre svaret endnu. Det ser stadig sådan ud: (x __) (x __).
  • Billedbetegnelse Factor Trinomials Trin 6
    6
    Test hvilke muligheder der virker med udvendig multiplikation og indenfor multiplikation. Vi har reduceret de sidste par vilkår til nogle muligheder. Test hver enkelt af dem ved at multiplicere de ydre og indre termer, og sammenlign derefter resultatet med vores trinomiale. For eksempel:
    • Udtrykket med "x" af vores oprindelige problem er "3x", så det er den værdi, vi ønsker at komme i testen.
    • Test -1 og 10: (x-1) (x + 10). Værdi udefra + indefra = 10x - x = 9x. Overhovedet ikke.
    • Test 1 og -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Dette er ikke rigtigt. Faktisk, efter at have testet -1 og 10, ved du, at svar 1 og -10 vil være lige modsat af ovenstående resultat: -9x, i stedet for 9x.
    • Test -2 og 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Dette falder sammen med det originale polynom, så det er det rigtige svar: (x-2) (x + 5).
    • I simple tilfælde som dette, når der ikke er nogen konstant foran x2, Du kan bruge en genvej: Tilføj blot de to faktorer og læg en "x" efter (-2 + 5 → 3x). Dette vil ikke fungere med mere komplicerede problemer, så det er godt at huske den fulde sti beskrevet ovenfor.

    • Metode 2
    Factoring mere udførlige trinomier

    Billede med titlen Factor Trinomials Trin 7
    1

    Video: How to use the quadratic formula | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy

    Brug enkel faktorisering til at lette mere uddybede problemer. Lad os sige, at du skal faktor 3x2 + 9x - 30. Kig efter et nummer, der fylder alle tre udtryk (den "fælles maksimale divisor" af dem eller MDC). I dette tilfælde er det 3:
    • 3x2 = (3) (x2)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3) (- 10)
    • Derfor 3x2 + 9x-30 = (3) (x2+3x-10). Vi kan faktor det nye trinomiale ved hjælp af trinene i begyndelsen af ​​denne artikel. Svaret vil være (3) (x-2) (x + 5).


  • Billede med titlen Factor Trinomials Trin 8
    2
    Kig efter mere uddybte faktorer. Sommetider kan faktoren involvere variabler, eller du må muligvis faktor et par gange, indtil du finder det enkleste udtryk muligt. Her er nogle eksempler:
    • 2x2og + 14xy + 24y = (2y)(x2 + 7x + 12)
    • x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 + 11x - 26)
    • -x2 + 6x = 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
    • Glem ikke at faktor det nye trinomial endnu en gang, ved hjælp af trinene fra starten. Tjek venligst dit svar og find lignende eksempelproblemer nær udgangen af ​​denne artikel.
  • Billede med titlen Factor Trinomials Trin 9
    3
    Løs problemer med et tal foran x2. Nogle kvadratiske trinomier kan ikke forenkles, før de når den nemmeste type problem. Lær hvordan du løser problemer som 3x2 + 10x + 8, og praktiser derefter alene med prøveproblemerne i slutningen af ​​denne artikel:
    • Saml svaret: (__ __)
    • De første udtryk har en "x" hver og, når de multipliceres, resulterer i 3x2. Der er kun en mulig mulighed her: (3x __) (x __).
    • Angiv faktorerne for 8. Vores valg er 1 gange 8 eller 2 gange 4.
    • Test dem ved hjælp af vilkårene udefra og inde. Bemærk at rækkefølgen af ​​faktorer er vigtige, da udtrykket udefra bliver multipliceret med "3x", ikke med "x". Prøv alle muligheder, indtil du får et resultat af udenfor + inden for 10x (ifølge det oprindelige problem):
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x Gør det ikke.
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Gør det ikke.
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Gør det ikke.
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja, det er den rigtige faktor.

  • Video: Example 7: Factor a polynomial with two variables by grouping | Algebra I | Khan Academy

    Billede med titlen Factor Trinomials Trin 10
    4
    Brug substitution for højere grad trinomier. Din matematiske bog kan overraske dig med en eksponent x høj ligning4, selv efter at have brugt simpel faktorisering for at lette problemet. Prøv at erstatte med en ny variabel, der ændrer ligningen til noget, du ved, hvordan du kan løse. For eksempel:
    • x5+13x3+36x
    • = (x) (x4+13x2+36)
    • Lad os opfinde en ny variabel. Vi vil sige, at y = x2 og vi vil foretage substitutionerne:
    • (x) (y2+13 + 36)
    • = (x) (y + 9) (y + 4). Gå nu tilbage til den oprindelige variabel:
    • = (x) (x2+9) (x2+4)
    • =(x) (x ± 3) (x ± 2)

    • Metode 3
    Factoring særlige tilfælde

    Billede med titlen Factor Trinomials Trin 11
    1
    Se efter primtal. Kontroller, at konstanten i trinets første eller tredje term er et primtal. Et primtal kan kun divideres ens for sig selv og med 1, så der er kun et par par binomiale faktorer.
    • For eksempel i x2 + 6x + 5, "5" er et primært tal, så binomialet skal se sådan ud: (__ 5) (__ 1).
    • Intet problem 3x2+10x + 8, 3 er et primært tal, så binomialet skal se sådan ud: (3x __) (x __).
    • Til 3x problemet2+4x + 1, både "3" og "1" er primtal, så den eneste mulige løsning er (3x + 1) (x + 1). (Du bør stadig udføre denne multiplikation til at tjekke din beregning, fordi nogle udtryk ikke kan indregnes ud - for eksempel 3x2 + 100x + 1 har ingen faktorer).
  • Billede med titlen Factor Trinomials Trin 12
    2
    Sørg for, at trinometret er et perfekt firkant. En perfekt kvadratisk trinomial kan indregnes i to identiske binomialer, og faktoren er normalt skrevet som (x + 1)2, i stedet for (x + 1) (x + 1). Her er nogle almindelige, der har tendens til at dukke op i problemer:
    • x2+2x + 1 = (x + 1)2, og x2-2x + 1 = (x-1)2
    • x2+4x + 4 = (x + 2)2, og x2-4x + 4 = (x-2)2
    • x2+6x + 9 = (x + 3)2, og x2-6x + 9 = (x-3)2
    • I et perfekt kvadratisk trinomial i form af denx2 + bx + c, udtrykkene "en" og "C" er altid positiv perfekt kvadrat (# 1, 4, 9, 16 eller 25), og udtrykket b (positiv eller negativ) er altid lig med 2 (* √a √c).
  • Billede med titlen Factor Trinomials Trin 13
    3
    Kontroller, om der ikke findes nogen løsning. Ikke alle trinomier kan forklares. Hvis du er pakket i et kvadratisk trinomial (øks2+bx + c), brug den kvadratiske formel til at finde resultatet. Hvis de eneste svar er kvadratroden af ​​et negativt tal, så er der ingen reel løsning, så der er ingen faktorer.
    • For ikke-kvadratiske trinomier, brug Eisenstein-kriteriet, som er beskrevet i tipsafsnittet.

    • Svar og problemeksempler

    1. Svar på mere uddybede faktoriseringsproblemer. Dette er delens problemer med "mere udførlige" trinomier. Vi har forenklet dem, hvilket gør dem lettere. Prøv nu at løse dem ved hjælp af trinene fra starten, så tjek dine beregninger her:
      • (2y) (x2 + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
      • (x2) (x2 + 11x = 26) = (x + 2)
      • (-1) (x2 - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)2
    2. Prøv at løse mere komplekse faktoriseringsproblemer. Disse problemer har en fælles faktor i hvert begreb, som først og fremmest skal faktureres. Fremhæv pladsen efter de samme tegn for at se svaret og tjek dine beregninger her:
      • 3x3+3x2-6x = (Xx) (x + 2) (x-1) ← Marker dette felt for at se dit svar
      • -5x3y2+30x2y2-25y2x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
    3. Øv med vanskelige problemer. Disse problemer kan ikke indregnes i lettere ligninger, så du skal sammensætte et svar i form af (_x + __) (_ x + __) gennem tests:
      • 2x2+3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← Fremhæv for at se svaret
      • 9x2+6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)2 (Tip: Du må muligvis prøve mere end et par faktorer for 9x).

    tips

    • Hvis du ikke ved, hvordan du faktoriserer et kvadratisk trinom (øks2+bx + c), kan du bruge den kvadratiske formel til at finde værdien af ​​x.
    • Selvom du ikke behøver at vide, hvordan du gør dette, kan du bruge Eisenstein-kriteriet til hurtigt at afgøre, om et polynom er irreducible og ikke kan faktureres. Dette kriterium gælder for ethvert polynom, men fungerer særligt godt med trinomier. Hvis der er et primtal "p", som også deler de to sidste betingelser og opfylder følgende betingelser, så polynomiet er irreducible:
      • Den konstante term (uden variabel) er et multipel af p, men ikke af s2.
      • Hovedbegrebet (for eksempel "a" i økse2+bx + c) er ikke et multiplum af p.
      • For eksempel 14x2 + 45x + 51 er irreducible, da der er et primært tal (3), der ligeledes deler 45 og 51, men ikke 14 og 51 kan ikke ligeligt fordeles med 32.

    advarsler

    • Selvom dette gælder for kvadratiske ligninger, er faktoriale trinomier ikke nødvendigvis produktet af to binomials. For eksempel: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
    Del på sociale netværk:

    Relaterede
    © 2024 HodTari.com