Apollonius omkreds er en form for fraktal dannet af et sæt cirkler, der falder i størrelse og er indeholdt i en større cirkel. Hver cirkel inden for omkredsen af Apollonius er tangent
til tilstødende cirkler - med andre ord, cirklerne på omkredsen af Apollonius rører ved uendeligt små punkter. Navngivet til den græske matematiker Apollonius of Perga, kan denne type fraktal trækkes (med hånd eller computer) til en rimelig grad af kompleksitet, hvilket skaber et smukt og interessant billede. Følg trinene herunder for at lære at bygge din egen Apollonius omkreds.
trin
Del 1 Forstå nøglebegreber
Hvis du kun vil tegne omkredsen af Apollonius, behøver du ikke at forstå dybtgående de matematiske principper, der vedrører fraktaler. Men hvis du vil have en bedre forståelse af Apollonius omkredsen, vil det være afgørende at forstå definitionerne af de forskellige begreber, som vil blive anvendt i instruktionerne i den vejledning.
Video: Sirkelen
1
Forstå nøglebegreberne. Følgende udtryk vil blive brugt i instruktionerne:
Apollonius Circumference: Et af flere navne til en type fraktal sammensat af en række omkredser indskrevet inden for en større omkreds og der er tangent til alle de omgivende omkreds.
Radius af omkreds: Afstand, der forbinder midten til et hvilket som helst punkt i omkredsen. Generelt tilskrives det variablen r.
kreds af krumning: Positiv eller negativ værdi svarende til den inverse af radius, eller ± 1 / R. Krumningen vil være positiv, når den er den ydre krumning af omkredsen og negativ, når den er den indre krumning.
tangent: Term anvendt på linjer, fly og geometriske former, der skærer på et uendeligt lille punkt. I omkredsen af Apollonius henviser dette til det forhold, at hver omkreds berører omkredsen tæt på den på et enkelt punkt. Bemærk, at der ikke er krydsning - de former, der er tangent, overlapper ikke.
2
Forstå Descartes `sætning. Descartes `sætning er den formel, der bruges til at beregne størrelsen af cirkler på en Apollonius omkreds. Hvis vi definerer kurvaturerne (1 / N) af tre cirkler den, b og c henholdsvis siger vi, at krumningen i cirklen (eller cirklerne), der rammer disse tre, som vi vil ringe til d, vil være lig med d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b × c + c × a).
Til vores formål vil vi kun bruge resultatet opnået med plustegnet foran kvadratroden (med andre ord, ... + 2 √ (...)). For nu er det tilstrækkeligt at vide, at formen med minustegnet har applikationer i andre relaterede opgaver.
Del 2 Tegn omkredsen af Apollonius
Apollonius omkreds er i form af fraktal arrangementer af stadig mindre cirkler. Matematisk omkredse Apollonius har uendelig kompleksitet, men trækker med et edb-program eller med traditionelle værktøjer, du til sidst nå et punkt, hvor det er umuligt at trække mindre cirkler. Jo større nøjagtigheden af dine cirkler er, jo større antal cirkler, der passer til din Apollonius-omkreds.
Video: Kap 7.10 Sirkel og koordinater.mp4
1
Forbered digitale eller analoge tegningsværktøjer. I trinene nedenfor vil vi konstruere en simpel Apollonius omkreds. Det vil være muligt at tegne det manuelt eller ved hjælp af computerværktøjer. I begge tilfælde skal du tegne perfekte cirkler. Dette er meget vigtigt. Da alle cirkler inden for en Apollonius-omkreds er helt tangent til cirklerne omkring dem, kan cirkler med en minimal uregelmæssig form ødelægge det endelige resultat.
For at trække på computeren skal du have et program, der giver dig mulighed for at tegne cirkler fra værdien af din radius. GFIG, en udvidelse til at tegne fraktaler fra den gratis billededitor GIMP, kan bruges, samt en række andre tegneprogrammer. Du vil sandsynligvis også have brug for en ansøgning til beregninger og en tekstredigerer (eller fysisk notesbog) for at bemærke værdierne for krumning og eger.
For at tegne for hånd skal du have en regnemaskine (videnskabelig eller grafisk), en blyant, et kompas, en linjal (helst milimeter), grafpapir og en notesbog til notering.
2
Begynd med at tegne en stor cirkel. Du skal starte med at tegne en perfekt rund stor cirkel. Jo større cirkel, jo større kompleksiteten af Apollonius-omkredsen er, så prøv at gøre så stor en cirkel som papirarket tillader eller så stort som tegneprogrammets skærm.
3
Tegn en mindre cirkel inde i den oprindelige cirkel, og det er tangent til det på et tidspunkt. Det næste trin tegner en anden cirkel inde i den første, der er mindre end originalen, men stadig med en stor størrelse. Den nøjagtige størrelse af den anden cirkel er efter eget valg - der er ingen korrekt størrelse. Men til vores formål, vil vi trække en anden runde at bo i midten af cirklen maior- med andre ord, vil vi trække den anden cirkel, så dens centrum er midt i den største cirkel radius.
Husk at på omkredsen af Apollonius skal alle cirkler være tangent til hinanden. Hvis du bruger et kompas til at trække dine cirkler i hånden, skal du placere nålen punkt af kompasset ved midtpunktet af den bredere kreds radius og justere spidsen med grafit, således at kun røre den bredere kreds linje og først derefter trække den mindre inderkreds .
4
Tegn en identisk cirkel på den modsatte side af det foregående trin. Lad os nu tegne en anden cirkel ved siden af den første mindre cirkel. Denne nye cirkel skal være tangent til både den bredere kreds som den mindre inderkreds, hvilket betyder, at de to inderste cirkler forventes at spille i midten af den bredere kreds, dvs. ved midtpunktet af dens diameter.
5
Anvend Descartes sætningen til at beregne størrelsen af de næste cirkler. Lad os stoppe tegningen et øjeblik. Nu hvor vi har tre cirkler på omkredsen af Apollonius, kan vi bruge Descartes `sætning til at bestemme radiusen for den næste cirkel, vi skal tegne. Husk at formlen i Descartes`s sætning er d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b × c + c × a), hvor variablerne den, b og c repræsenterer krumningen af de tre tangentcirkler og d repræsenterer cirkelens krumning tangent til de andre tre. Så for at komme til den næste cirkel radius værdi, lad os først finde krumningen af hver af de kredse trukket så langt, og derefter finde krumningen af den inderste cirkel og til sidst konvertere denne værdi i dens radius.
Lad os betragte, at radiusen af den større cirkel er lig med 1. Som de andre kredse er inde i, beregner vi dens krumning interne (og ikke den ydre krumning), og derfor ved vi, at værdien af dets krumning vil være negativ. - 1 / R = -1/1 = -1. Krumningen af den større cirkel er lig med -1.
Radien af de to mindre indre cirkler er lig med halvdelen af den største cirkels radius, eller med andre ord 1/2. Da disse cirkler berører hinanden og den større cirkel, beregner vi krumningen ekstern, Derfor vil værdien af krumningen være positiv. 1 / (1/2) = 2. Krumningen af de to mindre cirkler er lig med 2.
Nu ved vi det den = -1, b = 2 og c = 2. Ved at erstatte disse værdier i Descartes sætningen, har vi:
d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b × c + c × a)
d = -1 + 2 + 2 ± 2 √ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1)
d = -1 + 2 + 2 ± 2 √ (-2 + 4 + -2)
d = -1 + 2 + 2 ± 0
d = -1 + 2 + 2
d = 3. Krumningen af den næste cirkel er lig med 3. Som 3 = 1 / r måler radiusen for den næste cirkel 1/3.
Video: Innskrevet sirkel
6
Tegn det næste sæt af cirkler. Brug radiusværdien bestemt i det foregående trin til at tegne de næste to cirkler. Husk, at de skal vække krøllens cirkler den, b og c anvendt i Descartes `sætning. Med andre ord skal de være tangent til den større cirkel og de to indre cirkler. For at disse to nye cirkler skal røre alle de andre kredse, skal du tegne dem i de tomme rum, der var øverst og nederst i den større cirkel.
Glem ikke at radius af disse cirkler skal svare til 1/3. Mål 1/3 fra linjen i den større cirkel, og træk derefter den nye cirkel. Det burde være tangent til de tre cirkler omkring dig.
7
Fortsæt med at anvende denne metode til at tegne de nye cirkler. Fordi de er fraktaler, har omkredsen af Apollonius uendelig kompleksitet. Det betyder, at du kan tilføje mindre og mindre cirkler til hvor du vil. Du vil kun være begrænset til nøjagtigheden af dine værktøjer (eller hvis du bruger computeren, kan dit tegneprograms evne til at fungere med zoom forøget). Hver cirkel, uanset hvor lille, skal være tangent til de tre andre. For at tegne den næste cirkel af din Apollonius-omkreds, erstat værdierne for de tre cirkels krumninger, som den nye vil tangentere i Descartes `sætning. Brug derefter resultatet (som vil være værdien af radiusen for den næste cirkel) for at tegne den nye cirkel præcist.
Bemærk, at Apollonius-cirklen, vi valgte at tegne, er symmetrisk, så en cirkels radius svarer til den for den tilsvarende cirkel på den modsatte side. Det er dog vigtigt at bemærke, at ikke hver omkreds af Apollonius vil være symmetrisk.
Lad os se på et andet eksempel. Antag at vi, efter at have tegnet det sidste sæt af cirkler, vil tegne de cirkler, der tangenterer det tredje sæt, det andet sæt og den større ydre cirkel. Krumningen af disse cirkler er henholdsvis 3, 2 og -1. At erstatte disse værdier i Descartes `sætning, det vil sige, den = -1, b = 2 og c = 3, vil vi have:
d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b × c + c × a)
d = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1)
d = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (-2 + 6 + -3)
d = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (1)
d = -1 + 2 + 3 ± 2
d = 2, 6. Vi opnår to resultater. Men da vi ved, at den nye cirkel vil være mindre end de cirkler, der snobler den, er kun værdikurvaturen 6 (og dermed måleradiusen 1/6) vil være gyldig.
Vores andet svar, 2, refererer til den imaginære cirkel på den anden side af tangentet for det andet og tredje sæt cirkler. Denne imaginære cirkel det er tangent til disse andre cirkler og til den større ydre cirkel, men det skærer også de allerede udtrukne cirkler, så vi må se bort fra det.
8
Prøv at tegne en asymmetrisk Apollonius omkreds ved at ændre størrelsen på den anden cirkel. Alle omkreds af Apollonius begynder på samme måde: en større ydre cirkel, som fungerer som kanten af fraktalen. Imidlertid gør målingen af radiusen for den anden cirkel ikke obligatorisk være 1/2 af den største radius - vi valgte denne værdi, bare fordi det er enkelt og let at forstå. Nu hvor du kender det grundlæggende, så prøv at oprette en cirkel af Apollonius, hvor den anden cirkel har en anden størrelse - dette vil føre dig til at udforske andre spændende og sjove stier af geometri.
Når du er færdig med at tegne den anden cirkel (uanset størrelse), skal det næste trin være at tegne en eller flere cirkler, der er tangent til den og den ydre cirkel - men der er ingen rigtige måde at gøre det på. Du kan derefter bruge Descartes `sætning til at bestemme værdien af strålerne i de næste cirkler (som vist ovenfor).
Sådan laver du en cylindrisk pude
Sådan måles et cykelhjul
Sådan finder du området med regelmæssige polygoner
Sådan finder du center for en cirkel
Sådan finder du et område med et kvadrat
Beregning af en cirkels omkreds
Beregning af en cirkels diameter
Sådan beregnes perimeteren af et kvadrat
Sådan beregnes Pi
Sådan beregnes perimeteren af en polygon
Sådan finder du ud af værdien af Pi ved hjælp af cirkler
Finde området og omkredsen af et rektangel
Sådan finder du området og omkredsen
Finde omkredsen og området af en cirkel
Find overfladen af cylinderoverfladen
Finde perimeteren af en geometrisk figur
Sådan finder du strålen i et kugle
Forstå den trigonometriske cyklus
Hvordan man finder ud af omkredsen af en cirkel