Sådan Forenkler Radicals

Radikalt udtryk er et algebraisk udtryk, der indeholder en kvadratisk, kubisk eller anden rod. Det er almindeligt, at disse udtryk beskriver det samme tal, selvom de ser helt anderledes ud (f.eks. 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1). Løsningen er at vælge en "canonical form", der er foretrukket for dem. Hvis to udtryk, både i kanonisk form, stadig ser anderledes ud, repræsenterer de virkelig ikke det samme tal. Matematikere er enige om, at den kanoniske form for radikale udtryk skal:

indhold

Trin

Metode 1perfekte kræfter
Metode 2konverter rationelle eksponenter til radikaler
Metode 3fjern fraktioner fra radikaler
Metode 4kombiner radikale produkter
Metode 5uddrag firkantede faktorer fra radikaler

Video: simplifying rational expressions example 2 | rational expressions | algebra ii | khan academy

Metode 6rationaliser nævneren

Video: squaring a binomial | quadratics and polynomials | algebra basics | khan academy
Tips

Undgå fraktioner i radikal-
Undgå fraktionerede eksponenter-
Undgå radikaler i nævneren-
Undgå at gange radikaler ved radikaler -
Har kun vilkår uden for kvadratroden under radikalerne.

En praktisk anvendelse af denne form kan findes i multiple choice tests. Hvis du løser et problem, men ikke finder dit svar blandt alternativene, så prøv at forenkle det til den kanoniske form. Fordi testforfatterne ofte sætter svarene på denne måde, gør det samme med din, vil det gøre klart, hvad det korrekte svar er. I essay tests betyder instruktioner som "forenkle dit svar" eller "forenkle alle radikaler", at den studerende skal anvende følgende trin, indtil svaret opfylder den kanoniske formular, der er beskrevet ovenfor. Denne form kan også være nyttig til løsning af ligningerne, selv om nogle er lettere at løse ved hjælp af en ikke-canonisk form.

trin

Om nødvendigt genlæse reglerne for radikal manipulation og eksponenter (de er de samme ting: rødderne er fraktionelle kræfter), da de fleste er nødvendige for denne proces. Gennemgå også reglerne for manipulering og forenkling af polynomier og rationelle udtryk, da de også vil være nødvendige for at forenkle.

Metode 1
Perfekte kræfter

Forenkle radikaler, der er perfekte firkanter. De er produktet af ethvert tal, der multipliceres med sig selv, som f.eks. 81, som er produktet af 9 x 9. For at forenkle en perfekt firkant i en radikal, skal du blot fjerne symbolet fra radikalet og skrive resultatet af kvadratroden .

For eksempel er 121 et perfekt firkant, fordi 11x11 er lig med 121. Således kan du forenkle √ (121) til 11 ved at fjerne kvadratrodsymbolet.
For at lette processen skal du huske de første 12 perfekte firkanter: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16,5 x 5 = 25,6 x 6 = 36,7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

Forenkle radikaler, der er perfekte terninger. De er produktet af et hvilket som helst tal multipliceret med sig selv to gange, som f.eks. 27, som er produktet 3 x 3 x 3. For at forenkle et radikalt udtryk med en perfekt kube, skal du bare fjerne symbolet fra radikalen og skrive resultatet af perfekt kube terning rod.

For eksempel er 343 en perfekt terning, fordi den er produktet af 7 x 7 x 7. Derfor er kubens rod af den perfekte kube 343 7.

Metode 2
Konverter rationelle eksponenter til radikaler

Eller konvertere ellers hvis du foretrækker (nogle gange er der gode grunde til det), men bland ikke termer som √ (5) + 5^(3/2) i samme udtryk. Lad os sige, at du beslutter at bruge rodnotationen og bruge √ (n) til kvadratroten af n og ³√ (n) for den kubiske rod.

Find den fraktionelle eksponent og konverter den til den radikale ækvivalent, x^{(a / b)} = rod b af x^den

Hvis rodindekset er en brøkdel, slippe af med det også. For eksempel er roten (2/3) af 4 = √ (4)³ = 2³ = 8.

Konverter de negative eksponenter til deres ækvivalente fraktioner: x^-y = 1 /^y

Dette gælder kun for konstante og rationelle eksponenter. Hvis du har vilkår som 2^x, Lad dem være som de er, selvom konteksten af problemet indebærer, at x kan være fraktioneret eller negativt.

Kombiner lignende udtryk og forenkle de rationelle udtryk der resulterer.

Metode 3
Fjern fraktioner fra radikaler

Den kanoniske form kræver at udtrykke roden af en brøkdel med hensyn til rødder af heltal.

Undersøg betingelserne nedenfor for hver radikal for at se, om de indeholder fraktioner. Hvis ja,

Udskift det ved en opdeling mellem to radikaler ved hjælp af identiteten √ (a / b) = √ (a) / √ (b).

Brug ikke en sådan identitet, hvis nævneren er negativ eller et variabelt udtryk, der kan være negativt. I så fald forenkle fraktionen først.

Forenkle de perfekte firkanter, der opstår, dvs. konverter √ (5/4) til √ (5) / √ (4) og forenkle, indtil du når √ (5) / 2.

Gør andre forenklinger, f.eks reducere komplekse fraktioner, kombinere ens vilkår osv.

Metode 4
Kombiner radikale produkter

Hvis du har et radikalt udtryk multipliceret med en anden, kombinere dem til en radikal ved hjælp af følgende ejendom: √ (a) * √ (b) = √ (ab). Udskift √ (2) * √ (6) med √ (12).

Ovenstående identitet, √ (a) * √ (b) = √ (ab), er gyldig for ikke-negative radikanter. Anvend ikke det, hvis a og b er negative, fordi du på denne måde vil fremsætte en falsk erklæring: √ (-1) * √ (-1) = √ (1). Den venstre side er -1 pr. Definition (eller udefineret, hvis du nægter at genkende komplekse tal), mens højre side er +1. Hvis a eller b er negativ, skal du først "rette" dette signal med √ (-5) = i * √ (5). Hvis roten er et variabelt udtryk, hvis signal ikke kan udledes fra konteksten, skal du forlade det som det er for nu. Du kan bruge den mest generelle identitet, √ (a) * √ (b) = √ (sgn (a)) * √ (sgn (b)) * √ (| ab |), der er gyldig for alle reelle tal a og b , men det er generelt ikke værd at tilføje tegnets kompleksitet.
Sådan identitet gælder kun, når radikaler har samme indeks. Du kan formere generelle radikaler, som √ (5) *³√ (7), udtrykker dem først med et fælles indeks. For at gøre det skal du konvertere rødderne til midlertidigt fraktionerede eksponenter: √ (5) *³√ (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Anvend derefter produktreglen for at gøre dette produkt lig med den sjette rod af 6125.

Metode 5
Uddrag firkantede faktorer fra radikaler

Video: Simplifying rational expressions example 2 | Rational expressions | Algebra II | Khan Academy

Hurtig et radikalt udtryk ufuldstændigt i dets faktorer. Disse multiplicerer tal for at oprette et andet tal - for eksempel er 5 og 4 to faktorer i tallet 20. For at dividere et ufuldstændigt radikalt udtryk skal du skrive ned alle faktorer i det pågældende tal (eller hvor mange du kan, hvis tallet er store) indtil du finder et perfekt firkant.

For eksempel kan du prøve at notere alle faktorer i nummer 45: 1, 3, 5, 9, 15 og 45. 9 er en faktor på 45, som også er et perfekt firkant (9 = 3²). 9 x 5 = 45.

Tag de faktorer, der er de perfekte firkantede rødder af radikalen ud. 9 er en kvadratrode, fordi den er produktet 3 x 3. Tag det ud af radikalet og sæt et 3 foran det, og lad de 5 inde i radikalen være. Hvis du "returnerer" 3 til radikalen, vil den formere sig selv for at oprette 9 igen, som vil formere 5 for at skabe 45 igen. 3 rod på 5 er bare en forenklet måde at sige rod på 45.

Det vil sige, √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5).

Find et perfekt firkant i variablen. Kvadratroden af den til den anden magt ville være | a |. Du kan forenkle for "a" kun hvis det ved, at variablen er positiv. Den kubiske rod af den til den tredje kraft kan forenkles som kvadratroden af den firkantede gange den, fordi du tilføjer eksponenterne, når du multiplicerer variabler, så det den firkantede gange den er lig med den til terningen.

Således er det perfekte torv af den terningen er den firkantet.

Tag de variabler, der er perfekte firkanter af radikalen ud. Så få fat i den firkantet og fjern det fra radikalet for at gøre det til en | a | enkel. Den forenklede form af den kuben er kun | a | roden af den.

Kombiner lignende udtryk og forenkle rationelle udtryk, der opstår som følge heraf.

Metode 6
Rationaliser nævneren

Den kanoniske form kræver, at nævneren Vær et helt tal eller et polynom, hvis det indeholder ubestemt.

Hvis nævneren er dannet af en term i en gruppe som [x] / √ (5), multipliceres tælleren og nævneren ved at radikal for [x] * √ (5) / √ (5) * √ ( 5) = [x] * √ (5) / 5.
- For terning eller større rødder, multiplicere med den rette kraft af radikalen for at gøre nævneren rationel. Hvis nævneren er ³√ (5), formere tælleren og nævneren med ³√ (5)².
Hvis nævneren er en sum eller en forskel i kvadratrødder såsom √ (2) + √ (6), multipliceres tælleren og nævneren af den samme udtryk med det modsatte konjugerede operatør. Så [X] / (√ (2) + √ (6)) = [x] (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6)) (√ (2) - √ (6)). Brug derefter kvadratforskydningsidentiteten [(a + b) (a-b) = a²-b²] For at rationalisere nævneren, forenkling (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) ^ 2 - √ (6) ^ 2 = 2-6 = -4 .
- Dette trin fungerer også for betegnelser som 5 + √ (3), da hvert heltal er en kvadratrode af et andet heltal. (5 + √ (3)) = (5-√ (3)) / (5 + √ (3)) (5-√ (3)²-√ (3)²) = (5-√ (3)) / (25-3) = (5-√ (3)) / 22]
- Denne metode tjener til en sum af firkantede rødder, såsom √ (5) -√ (6) + √ (7). Hvis du gruppe som (√ (5) -√ (6)) + √ (7) og ganges med (√ (5) -√ (6)) - √ (7), dit svar er ikke rationelt, men vil have den a + b * √ (30), hvor a og b er rationelle. Derefter kan du gentage processen med konjugatet af a + b * √ (30), og (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) er rationelt. Du kan bruge dette trick en gang for at reducere antallet af radikaler i nævneren, og flere gange for at eliminere dem alle.
- Det virker endda med betegnelser, der indeholder større rødder, såsom firdoblet rod på 3 plus den syvende rod på 9. Det er kun at formere tælleren og nævneren ved hjælp af nævnets konjugat. Desværre er processen for at finde nævneren konjugatet ikke så klart. For at forstå det, se efter en god bog med algebraisk talteori.

Nogen er nu blevet rationaliseret, men tælleren er et rod. Du vil have det oprindelige tal plus op til tre gange den nævnte konjugat. Udvid produktet som du ville med et polynomisk produkt. Se om noget kan annulleres eller forenkles og kombinere lignende vilkår, hvis det er muligt.

Video: Squaring a binomial | Quadratics and polynomials | Algebra Basics | Khan Academy

Hvis nævneren er et negativt heltal, multipliceres tælleren og nævneren med -1 for at gøre den positiv.

tips

Du kan søge efter websteder, der forenkler radikalt udtryk for dig. Indtast kun ligningen i radikalen, og tryk på Enter for det forenklede svar, der skal vises.
Mange af ovenstående trin vil ikke blive brugt på simple problemer. Til de mere komplicerede, kan nogle trin måske anvendes mere end én gang. Gør forenklingerne på en kontinuerlig måde, mens du løser problemet og kontroller det endelige svar for at se, om det passer til de kanoniske kriterier, der er beskrevet i indledningen. Hvis svaret er kanonisk, er du færdig. Så længe det ikke er kanonisk, vil et af disse trin fortælle dig, hvad der stadig skal gøres for at komme til den form.
De fleste referencer til den "foretrukne kanoniske form" af et radikalt udtryk gælder også for komplekse tal (i = √ (-1)). Selv hvis de er skrevet med en i stedet for en radikal, undgå at forlade i i nævneren.
En del af ovenstående instruktioner forudsætter, at alle radikaler er firkantede rødder. De generelle principper er de samme for kubiske eller større rødder, selv om nogle af dem, især rationalisering af nævneren, er sværere at anvende. Du skal også beslutte, om du vil have ³√ (4) eller ³√ (2)² (afhængigt af formularen foretrukket af dine lærebøger).
En del af undervisningen anvender udtrykket "kanoniske form" på den forkerte måde, når de i virkeligheden er at beskrive kun den normale form. Forskellen er, at den kanoniske form ville kræve 1 + √ (2) eller √ (2) en og sige, at den anden er uegnet, mens normalt forudsætter, at du, læseren, er smart nok til at erkende, at de to tal er "selvfølgelig det samme", selvom de ikke er skrevet på samme måde. "Indlysende" i dette tilfælde betyder anvendelse af kun aritmetiske egenskaber, såsom tilsætningen er Kommutativ, ikke algebraiske egenskaber (√ (2) er et ikke-negativt roden af x^2-2). Vi håber læserne vil tilgive dette lille misbrug af terminologi.
Hvis instruktionerne forekommer tvetydige eller modstridende, skal du anvende alle konsekvente og entydige trin og vælge det formular, der ligner mest på radikale udtryk i din bog.

Del på sociale netværk:

Relaterede