For dem, der har problemer med matematik, kan der ses kulderystelser ved at se kvadratrotsymbolet. Problemer med denne operatør er imidlertid ikke så vanskelige, som de synes. Nogle gange kan enkle kvadratroder være lige så nem som simpel multiplikation eller division. På den anden side kan mere komplicerede problemer give mere arbejde. Men med den rigtige tilgang vil de alle se let ud. Begynd at udøve kvadratrodsproblemer nu, og lær denne nye matematikdygtighed radikal
Del 1 Forstå begrebet kvadratiske og firkantede rødder
Video: How to use the quadratic formula | Polynomial and rational functions | Algebra II | Khan Academy
1
Før du forstår firkantede rødder, forstår du først, hvad firkantet af et tal er. Det er let at forstå. For at hæve et nummer kvadreret, skal du blot formere det selv. For eksempel er 3 kvadreret det samme som 3 × 3 = 9 og 9 kvadreret er det samme som 9 × 9 = 81. Firkanter betegnes med en lille "2" på den øverste højre side af det nummer, der skal hæves, som følger: 32, 92, 1002 og så videre.
For at træne konceptet, prøv at øge nogle flere firkanter. Husk, at hæve et tal kvadreret er simpelthen at multiplicere det selv. Du kan gøre dette selv med negative tal, men husk på, at svaret i dette tilfælde altid vil være positivt. For eksempel -82 = -8 × -8 = 64.
2
For at finde kvadratroden finder du den "omvendte" potentiering. Rotsymbolet (# 8730-, også kaldet "radikalt") betyder i grunden det "modsatte" symbol 2. Når du ser en radikal, spørg dig selv, "Hvilket tal kan jeg formere sig selv, så resultatet er nummeret i radikalet?" For eksempel, når man kigger på √ (9), skal man prøve at finde nummeret, ni. I dette tilfælde vil svaret være tre, fordi 32 = 9.
Et andet eksempel. Lad os finde kvadratroten på 25 (√ (25)). Det betyder, at vi skal finde nummeret der firkanter 25.2 = 5 × 5 = 25, kan vi sige at √ (25) = 5.
Du kan også tænke på denne operation som en måde at "fortryde" en højde kvadreret på. For eksempel, hvis vi skal finde √ (64), kvadratroden på 64, skal vi tænke på 64 som 82. Som kvadratroden dybest set "annullere" en kvadrering, kan vi sige, at √ (64) = √ (82) = 8.
3
Forstå forskellen mellem perfekte firkantede tal og ufuldkomne firkantede tal. Hidtil har svarene på vores problemer med kvadratroden været heltal. Dette kommer ikke altid til at ske. Faktisk kan resultatet af en radikationsoperation resultere i lange, komplicerede decimaler. Hvis roten til et tal er hel, det vil sige, hvis det ikke er en brøkdel eller en decimal, bliver det kaldt perfekt firkant. Alle eksemplerne vist ovenfor (9, 25 og 64) er perfekte firkanter, fordi deres rødder er heltal (henholdsvis 3, 5 og 8).
På den anden side kaldes tal, hvis rødder ikke er heltal ufuldkomne firkanter. Når vi beregner roten til et af disse tal, får vi et resultat, der normalt vil være en brøkdel eller en decimal. Ibland kan de involverede decimaler være ret komplicerede som i eksemplet: √ (13) = 3,605551275464 ...
4
Husk mindst de første 12 perfekte firkanter. Som vi har vist, kan det være meget nemt at beregne kvadratroten af et tal! Derfor er det vigtigt at tage sig tid til at huske de firkantede rødder af de første dusin perfekte firkanter. De viser sig sædvanligvis ganske lidt som bevismateriale, så huske dem kan tjene dig meget tid. De første 12 perfekte firkanter er:
12 = 1 × 1 = 1
22 = 2 × 2 = 4
32 = 3 × 3 = 9
42 = 4 × 4 = 16
52 = 5 × 5 = 25
62 = 6 × 6 = 36
72 = 7 × 7 = 49
82 = 8 × 8 = 64
92 = 9 × 9 = 81
102 = 10 × 10 = 100
112 = 11 × 11 = 121
122 = 12 × 12 = 144
5
Når det er muligt, forenkle rødderne ved at fjerne de perfekte firkanter. At finde kvadratroten på ufuldkomne firkanter kan være ret vanskelig, især hvis en regnemaskine ikke er tilgængelig (i afsnittene nedenfor lærer du tricks for at forenkle processen). Det er dog undertiden muligt at forenkle tallene inde i roden for lettere beregninger. For at gøre dette skal du blot dividere tallet inde i roden i faktorer, og derefter beregne roten af de faktorer, der er perfekte firkanter, og skriv derefter svaret ud af radikalet. Dette er lettere end det ser ud. Se nedenfor for en bedre forståelse!
Lad os sige, at du skal finde roden på 900. Det ser ud til at være en meget vanskelig opgave! Men alt er meget lettere, hvis vi deler 900 i faktorer. Faktorerne for et tal "x" er et sæt tal, som, hvis de er multipliceret, resulterer i "x". For eksempel kan vi få 6 ved at gange 1 × 6 og 2 × 3, så faktorerne 6 er 1, 2, 3 og 6.
I stedet for at arbejde med 900, som måske er lidt mærkeligt, vil vi i stedet skrive det som 9 × 100. Nu, da 9, som er firkantet perfekt, er adskilt fra 100, kan vi beregne sin kvadratrode. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Det vil sige, √ (900) = 3√ (100).
Vi kan stadig forenkle to gange ved at dividere 100 ind i faktor 25 og 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Så kan vi sige at √ (900) = 3 (10) = 30.
Video: Extraneous solutions to radical equations | Algebra I | Khan Academy
6
Brug imaginære tal til at beregne roden af negative tal. Spørg dig selv, hvilket nummer multipliceret med sig selv resulterer i -16? Det er hverken 4 eller -4, for firkanten af disse to tal er 16. Skal vi give op? Faktisk er der ingen måde at skrive kvadratroden på -16 eller et hvilket som helst andet negativt tal kun ved hjælp af reelle tal. I sådanne tilfælde skal vi bruge imaginære tal (normalt i form af bogstaver eller symboler) for at erstatte kvadratroden af et negativt tal. Variablen "i" bruges for eksempel til at angive kvadratroten på -1. Som hovedregel vil roden til et negativt tal altid være (eller i det mindste medtage) et imaginært tal.
Husk, at selvom imaginære tal ikke kan repræsenteres med reelle tal, kan de stadig behandles som sådanne i nogle henseender. For eksempel resulterer roten til et negativt tal "-x", hvis det er kvadret, også i "-x", ligesom enhver anden rod. Det er jeg2 = -1
Del 2 Brug af metoder svarende til lang division
1
Behandle kvadratroden problemet som om det var en lang division. Trods en smule tricky, kan du finde kvadratroden af komplicerede ufuldkomne kvadrattal uden at bruge en lommeregner. Til dette anvender vi en fremgangsmåde (eller algoritme) tilsvarende (men ikke identiske) til den lange division. Lang division er den traditionelle metode, vi bruger til at beregne divisioner for hånd.
Start med at gøre den første positionering af problemet, som vil ligne den lange division. Lad os sige, at du skal finde roden til 6,45, hvilket bestemt ikke er et perfekt firkant. Først skriver vi et kvadratrodsymbol (√) og placerer derefter vores nummer inde i det. Så skal vi lave en linje fra symbolet √, indtil det dækker hele nummeret og efterlader det i en kasse svarende til den, hvor divisjonen af den lange division er. Forskellen er, at her ligger svaret over denne boks, ikke nedenfor, som i den traditionelle division. Når vi er færdige, vil vi have et langstrakt "√" tegn, der dækker hele tallet 6,45.
Lad os skrive numre på denne boks, så tag plads.
2
Grupper cifrene i par. For at begynde at løse problemet grupperes tallene i nummeret i radikalet parvis, fra decimaltegnet. Du kan lave små markeringer (som perioder, barer, kommaer osv.) Mellem par for at adskille dem.
I vores eksempel skal vi opdele 6,45 i tre par, sådan: 6-, 45-00. Se, at der er et minustegn på venstre side, ikke noget problem der.
3
Find det største nummer, hvis firkant er mindre end eller lig med værdien af den første "gruppe". Start med det første par tal på venstre side. Vælg det største nummer, hvis firkant er mindre end eller lig med "gruppen". For eksempel, hvis gruppen var 37, vælg 6 fordi 62 = 36 < 37 mas 72 = 49> 37. Skriv dette tal over den første gruppe. Dette er det første ciffer i svaret.
I vores eksempel er den første gruppe i 6-, 45-00 6. Det første største tal, hvis firkant er mindre end eller lig med 6 er 2, fordi 22 = 4. Skriv "2" på 6, der er inde i radikalet.
4
Kig på svarets første ciffer (det tal, vi lige har fundet) og formindsk det med to. Skriv nu resultatet under den første gruppe og udfør en subtraktion for at finde forskellen. Derefter gå ned i det næste par tal, forbinder dem med den forskel, vi lige har fundet. Til sidst skal du skrive det sidste dobbelte ciffer i det første ciffer i svaret på venstre side og efterlade et mellemrum ved siden af det.
I vores eksempel ville det første skridt være at finde dobbelt 2, som er det første ciffer i svaret. 2 × 2 = 4. Så skal vi trække 4 af 6 (vores første "gruppe") og få 2 som svar. Nu skal vi komme ned til den næste gruppe (45) for at få 245. Endelig skriver vi 4 tilbage igen og efterlader et lille rum på højre side, sådan: 4_.
5
Udfyld blanket. Nu skal vi sætte et ciffer i rummet ud for det nummer, vi skrev til venstre. Vælg det ciffer, der, når det multipliceres med tallet til venstre med tomrummet erstattet af sig selv, har en maksimumsværdi, men mindre end nummeret på højre side. Dette kan virke lidt vanskelig, så lad os se nogle eksempler at forstå. Hvis tallet der gik ned, det vil sige den på højre side, er 1700, og tallet til højre er 40_, vi ville udfylde blanket med nummer 4, fordi 404 × 4 = 1616 < 1700 e 405 × 5 = 2025. O número encontrado neste passo será o segundo dígito da resposta, então você pode adicioná-lo acima do símbolo do radical.
I vores eksempel, vi har brug for at finde nummeret til at fylde den tomme i 4_ × _ at gøre svaret være så stor som mulig, men mindre end eller lig med 245. I vores tilfælde er svaret 5, fordi 45 × 5 = 225 og 46 × 6 = 276.
6
Fortsæt med at bruge de tal, der udfylder emnerne for at sammensætte svaret. Fortsæt denne modificerede long division metode, indtil du begynder at få nuller ved at trække antallet, der kommer ned fra radikalen, eller indtil du når det ønskede niveau af præcision. Når de er færdige, vil tallene, der bruges til at udfylde emnerne ved hvert trin (og selvfølgelig det første nummer vi bruger) komponere svarets cifre.
Fortsætter vores eksempel, subtrairíamos 225, 245 til 20. Derefter par ciffer desceríamos 00 for tallene over 2000. Kloning radikal, har vi 25 × 2 = 50. Ved at sætte antallet af tomme × 50_ i _ = /< 2,000, obtemos 3. På dette tidspunkt har vi "253" på den radikale. Gentag processen igen, vi får en 9 som det næste ciffer.
7
Placér kommaet i den korrekte position i svaret. For at afslutte svaret skal vi stadig sætte decimaltegnet på det rigtige sted. Denne del er let, bare sæt kommaet i svaret i samme position, hvor kommaet er i nummeret inde i radikalen. For eksempel hvis tallet er i gruppen 49,8 blot placere respons i punkt placering svarende til lav, dvs. mellem de to ovennævnte figurer 8 og 9.
I vores eksempel er antallet inden for radikalet 6,45. For at få svaret, skal du blot placere kommaet mellem tallene over 6 og 4, som i dette tilfælde er henholdsvis 2 og 5 for at få svaret: 2.539.
Del 3 Lav et hurtigt skøn over ufuldkomne firkanter
Video: Domain of a radical function | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy
1
Find svaret ved et skøn. Når du allerede kender roten til nogle perfekte firkanter, vil det være meget lettere at finde roten til ufuldkomne firkanter. I et tidligere trin anbefaler vi at huske mindst de første tolv perfekte firkanter og deres rødder. Den gode nyhed er, at vi kan bruge estimatet til at få en rod tilnærmelse af en ufuldkommen firkant, der ligger mellem to perfekte firkanter, som vi ved. Til dette skal vi finde det første perfekte firkant større end det ønskede nummer og det sidste mindre, så det pågældende tal er mellem de to. Så skal vi forsøge at finde ud af, hvilken af disse to perfekte kvadrater roten af det ønskede nummer nærmest nærmer sig.
Lad os f.eks. Antage, at vi skal finde kvadratroten på 40. Som vi husker vores perfekte firkanter, kan vi sige at 40 er mellem 62 og 72, det vil sige mellem 36 og 49. Fordi 40 er større end 62, dets kvadratrode vil være større end 6. Ligeledes, da den er mindre end 72, roden vil være mindre end 7. 40 er en smule tættere på 36 end 49, så vores svar vil sandsynligvis være tættere til 6. I de næste trin skal vi øge nøjagtigheden af vores estimat.
2
Forøg nøjagtigheden med en decimal. Når du først har fundet de to på hinanden følgende perfekte firkanter, der danner et interval, der indeholder dit nummer, skal du bare prøve at øge estimatets nøjagtighed til et punkt, som du anser for tilfredsstillende. Jo flere forsøg på at forbedre estimatet er, desto større er nøjagtigheden. Begynd at estimere værdien af den første decimal. Dette estimat behøver ikke være korrekt, men ved at bruge logik til at vælge en værdi, der sandsynligvis er tættere på svaret, vil processen lette processen.
I vores eksempel kunne et acceptabelt skøn for kvadratroten på 40 være 6.4, fordi vi allerede ved, at svaret sandsynligvis er lidt tættere på 6 end 7.
3
Multiplicere estimatet alene. Medmindre du er meget heldig, vil resultatet ikke være startnummeret (40, i vores eksempel). Du skal justere estimatet for at komme tættere på det korrekte svar. Hvis resultatet er over startnummeret (dvs. over 40), prøv et mindre estimat. Ligeledes, hvis resultatet er under det ønskede antal, skal du øge estimatet.
Multiplicer 6.4 for sig selv for at få 6,4 × 6,4 = 40.96, som er lidt større end vores oprindelige tal.
Nu, da vores estimat blev lidt over den korrekte værdi, vil vi reducere det med en tiendedel for at få 6,3 × 6,3 = 39,69. Resultatet var nu lidt mindre end vores oprindelige nummer. Dette betyder at roden på 40 er et nummer mellem 6,3 og 6,4. Også siden 39,69 er tættere på 40 end 40,96, ved vi, at roden vil være tættere på 6,3, ikke til 6,4.
4
Fortsæt med at forbedre estimatet, hvis det er nødvendigt. På dette tidspunkt, hvis du er tilfreds med svaret, skal du bruge en af de første approximationer som et skøn. Men hvis du har brug for et mere præcist svar, prøv bare at estimere anden decimal, vælge en værdi mellem de to tidligere (dvs. mellem 6,3 og 6,4). Ved hjælp af denne metode kan vi estimere tre decimaler, fire, fem osv. Afhængigt af den præcision, der kræves for svaret.
I vores eksempel kan vi vælge 6.33 for at gøre vores estimat med to decimaler. Multiplicer 6.33 i sig selv for at få 6,33 × 6,33 = 40,0689. Da dette resultat var lidt over vores oprindelige tal, kan vi vælge en lidt lavere værdi, som f.eks. 6,32. I dette tilfælde er 6,32 × 6,32 = 39,9424 et resultat lidt under det oprindelige tal. Derfor kan vi konkludere, at den nøjagtige rod på 40 er mellem 6,32 og 6,33. Hvis det er nødvendigt, kunne vi fortsætte denne metode for at opnå mere og mere præcise tilnærmelser af roden til det ønskede nummer.
tips
Hvis du har brug for en hurtig løsning, skal du bruge en lommeregner. De fleste moderne regnemaskiner kan beregne firkantede rødder med det samme. Generelt skal du bare skrive et hvilket som helst nummer og trykke på knappen med kvadratrotsymbolet. For at finde roten til 841, skal du blot trykke 8, 4, 1 og derefter (√) for at få svaret: 39.
Sådan tilføjes firkantede rødder
Sådan finder du et område med et kvadrat
Sådan Lærer Matematik
Sådan beregnes standardfejl
Sådan beregner du et volumen af en cylinder
Sådan beregnes en kvadratrød med hånden
Sådan fuldføres Square
Sådan afledes Bhaskara Formel
Sådan hæver du fraktioner til kvadrat
Sådan Find Square Square uden beregning
Hvordan man laver hurtige multiplikationer med vedisk matematik
Sådan laver du flere gange to tal
Sådan måles square footage
Sådan Multipliceres
Sådan løser du et magisk firkant
Sådan forenkles en firkantet rod
Sådan Forenkler Radicals
Sådan tilføjes radikaler