: En utrolig formation, hvor hver del faktisk er miniaturekopien af hele. De utroligt visionære skjulte billeder i Mandelbrot sæt blev faktisk først set i det 16. århundrede, takket være forståelsen af Rafael Bombelli som de imaginære tal - men det var først Benoit Mandelbrot og andre begyndte at udforske fraktaler ved hjælp af computere, hemmeligt univers blev endelig afsløret.
Nu da vi ved, at det eksisterer, kan vi nærme det på en mere primitiv måde: for hånd. Her vil du blive undervist en metode til at visualisere en rå repræsentation af alt, bare for at forstå, hvordan man gør det- så vil du få en dyb forståelse for repræsentation, der kan gøres af mange open source-programmer til rådighed, eller endda set på cd`er og dvd`er.
trin
1
Forstå den grundlæggende formel, ofte udtrykt af z = z2 + c. Det betyder simpelthen, at vi for hvert punkt i Mandelbrot-universet vil se, vi fortsætter med at beregne z indtil en af to betingelser sker - så farger vi den for at afsløre, hvor mange beregninger der blev foretaget. Bare rolig! Alt bliver klarere i de næste trin.
2
Tag 3 blyanter, chalk eller filmarkører i forskellige farver, plus en blyant eller sort pen til konturerne. Grunden til, at vi ønsker 3 farver, er at vi vil lave den første tilnærmelse med højst 3 iterationer (lag eller med andre ord anvende formlen op til 3 gange pr. Punkt).
3
Med den sorte markør tegner du et stort 3x3 firkantdiagram på et stykke papir.
4
Video: Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen
Etiket (også i sort) midtfeltet (0, 0). Dette er den konstante (c) på det punkt, der svarer til midten af pladsen. Lad os nu sige, at hver firkant repræsenterer 2 enheder bredt, og så vil vi tilføje eller subtrahere 2 fra og til værdierne for x og y i hver firkant med x være det første nummer og y den anden. Derefter vil alt se ud som det du ser repræsenteret her. Når du følger cellerne vandret, skal værdierne for y (andet tal) være de samme - når du gør det lodret, vil værdierne for x (første tal) være de samme.
5
Beregn det første lag, eller iteration, af formlen. Du, som computeren (i virkeligheden er den oprindelige betydning af ordet "en person, der beregner"), kan gøre det alene. Lad os starte med følgende udsagn:
Den indledende værdi af z i hver firkant er (0, 0). Når absolutværdien af z for et givet punkt er større end eller lig med 2, anses dette punkt (og dets tilsvarende firkant) for at have undslap af Mandelbrot sæt. Når dette sker, vil du farve firkanten i forhold til antallet af iterationer i formlen anvendt indtil det tidspunkt.
Vælg de farver, der skal bruges i lag 1, 2 og 3. Lad os antage rød, grøn og blå i forbindelse med denne artikel.
Beregn værdien af z i øverste venstre hjørne af gammeldags diagram, forudsat den indledende værdi af z 0 + 0i eller (0, 0) - se afsnittet tips for en bedre forståelse af disse repræsentationer. Her bruger vi formel z = z2 + c, som defineret i det første trin. Du vil hurtigt se, at i dette tilfælde z2 + c det er simpelthen c, siden 02 er lig med 0. Og hvad er værdien af c for denne plads: (-2, 2)?
Bestem absolutværdien af dette punkt - absolutværdien af et komplekst tal (a, b) er kvadratroten af a2 + b2. Nu, da vi vil sammenligne det med den kendte værdi 2, vi kan undgå at opnå kvadratiske rødder ved at sammenligne2 + b2 til 22, som vi ved at være ækvivalente med 4. I denne beregning er a = -2 og b = 2.
[(-2)2 + 22 ]
[4 + 4]
8, hvilket er større end 4
Denne værdi undslap Mandelbrot-sæt efter den første beregning, da dens absolutte værdi er større end 2. Farver den med blyanten valgt til lag 1.
Gør det samme for hver firkant i diagrammet, bortset fra det centrale torv, som ikke er rømt fra Mandelbrot i det tredje lag (og vil aldrig undslippe). Så du brugte kun to farver: den ene repræsenterer lag 1 i alle yderste kvadrater og gengivelsen af lag 3 i midtfeltet.
6
Lad os prøve en firkant 3 gange større, 9x9, men stadig opretholde maksimalt 3 iterationer.
7
Start med den tredje kolonne fra top til bund, da det er her, hvor alt begynder at blive interessant.
Det første element, (-2, 1), er større end 2 (fordi (-2)2 + 12 er lig med 5), og derfor vil vi male den af rødt, fordi undslippe af sæt Mandelbrot i det første lag.
Det andet element, (-1,5, 1) viste sig at være ikke større end 2. Anvendelsen af formlen til den absolutte værdi, x2 + y2, hvor x = -1,5 og y = 1:
(-1,5)2 = 2,25
12 = 1
2.25 + 1 = 3.25 - er mindre end 4, dens kvadratrode er mindre end 2.
Således flytter vi til det andet lag og beregner z2 + c med genvejen (x2 - y2, 2xy) for z2 - se afsnit tips at vide, hvordan dette resultat er afledt - mens det stadig er x = -1.5 og y = 1:
(-1,5)2 - 12 bliver 2,25 - 1, hvilket resulterer i 1,25
2xy, da x = -1,5 og y = 1 bliver 2 (-1,5), hvilket resulterer i -3.0
Dette giver os en z2 af (1,25,3)
Tilføj nu c til denne celle (tilføj x til x og y til y), hvilket resulterer i (-0,25, -2)
Lad os teste om dens absolutte værdi nu er større end 2. Beregn x2 + y2:
(-0.25)2 = 0,0625
(-2)2 = 4
0.0625 + 4 = 4.0625 - dens kvadratrode er større end 2 og derefter undslap efter den anden iteration: vores første grønne!
Som du bliver bekendt med beregningerne, vil du nogle gange kunne erklære, hvem der undslipper Mandelbrot-sæt ved blot at se på tallene. I dette eksempel har y-komponenten en størrelsesorden på 2, der kan kvadreres og tilføjes til den firkantede værdi af det andet tal, der er større end 4. Ethvert tal større end 4 vil have en kvadratrode større end 2. Se sektion tips for yderligere forklaring.
Det tredje element, med en værdi c af (-1, 1), vil ikke undslippe i det første lag: da både 1 og -1, når de er kvadret, svarer til 1, x2 + y2 er lig med 2. Således beregner vi z2 + c ved hjælp af genvejen (x2 - y2, 2xy) for z2:
(-1)2 - 12 bliver 1 - 1, hvilket er lig med 0
2xy vil da være 2 (-1) = -2
z2 = (0, -2)
Tilføjelse af c, vi vil have (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
Dette vil stadig være den samme absolutte værdi som før (kvadratroden på 2 eller ca. 1,41), fortsætter med en tredje iteration:
[(-1)2 ] - [(-1)2 ] bliver 1 - 1, hvilket er lig med 0 (igen)
Men nu vil 2xy være 2 (-1) (-1), hvilket er lig med 2, hvilket giver en værdi z2 af (0, 2)
Tilføjelse af c, vi vil have (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), som har a2 + b2 af 10, meget højere end 4.
Derfor vil denne værdi også undslippe. Farve cellen med den tredje farve, blå, og gå til den næste, når vi gennemfører tre iterationer med det punkt.
Den kendsgerning, at vi kun bruger 3 farver, viser et tilsyneladende problem, da noget, der snart kommer efter 3 iterationer, skal farves på samme måde som (0, 0), hvilket aldrig undslipper - naturligvis ser vi stadig ikke nogen "insekter" i Mandelbrot-sæt på dette detaljeringsniveau.
8
Fortsæt med at beregne hver celle, indtil den undslipper, eller indtil den når det maksimale antal iterationer (antal anvendte farver eller 3 i dette eksempel), hvorefter du farger dem. Og så vil der være en 9x9 matrix efter 3 iterationer i hver firkant ... Det lader til, at vi har fået et sted!
9
Gør iterationer i samme matrix endnu en gang, med flere farver (iterationer), for at afsløre de næste par lag - eller, endnu bedre, tegne et meget større udvalg for et langsigtet projekt! Du får mere nøjagtige billeder ved at:
Forøg antallet af celler - billedet på siden har 81 celler pr. Side. Bemærk ligheden med hensyn til 9x9 matrixen ovenfor, men med meget blødere kanter i cirkulære og ovale formater.
Forøg antallet af farver (iterationer) - billedet på siden har 256 graderinger i hver rød, grøn og blå, i alt 768 farver sammenlignet med den indledende 3. Bemærk at du nu kan observere de karakteristiske konturer af den berømte Mandelbrot "sø" (eller "insekt, afhængigt af synspunkt"). Ulempen er den tid det tager at gøre det - hvis du kan beregne hver iteration om 10 sekunder, vil det betyde ca. 2 timer pr. Celle i eller i nærheden af Mandelbrot-søen. Selv om det er en forholdsvis lille del af 81x81-matrixen, vil det nok tage 1 år at færdiggøre det, selvom du arbejder på det i flere timer hver dag. Det er her, hvor siliciumbaserede computere er nyttige.
tips
hvorfor z2 = (x2 - y2, 2xy)?
For at multiplicere to komplekse tal, såsom (a, b) med (c, d), brug følgende formel: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + annonce).
Vær opmærksom på, at et komplekst tal har en "reel" og en "imaginær" del, hvor sidstnævnte er et reelt tal multipliceret med kvadratroten på -1, der ofte kaldes a jeg. Det komplekse tal (0, 0) er for eksempel 0 + 0i, og (-1, -1) er (-1) + (-1 x i).
Stadig hos os? Husk venligst at vilkårene den og c de er real, og at vilkårene b og d de er imaginære. Når de imaginære udtryk multipliceres sammen, er kvadratroten på -1 multipliceret med sig selv lig med -1, der nægter resultatet og gør det real- mens tallene annonce og bc de forbliver imaginære, da kvadratroden på -1 stadig er et udtryk for deres produkter. Derfor har vi ac - bd som del real og bc + annonce som del imaginære.
Nu, da vi kvadrerer tallene, i stedet for at multiplicere de to forskellige, kan dette være noget forenklet - da a = c og b = d, har vi produktet som (a2 - b2, 2ab). Og da vi kortlægger det "komplekse plan" i "kartesisk plan" med aksen x repræsenterer den "rigtige" og den y, den "imaginære", vil blive omtalt som (x2 - y2, 2xy).
Hvis du beregne en celle igen og igen, at lægge mærke til et resultat identisk med den allerede opnåede, ved du, du sidder fast i en løkke infinito- denne celle aldrig undslippe! Så du kan tage en genvej, farve den celle og gå videre til den næste. (0, 0) er naturligvis en af disse.
Vil du vide mere om, hvordan du bedømmer den absolutte værdi af et komplekst tal uden beregningens arbejde?
Den absolutte værdi af et komplekst tal (a, b) er kvadratroten af a2 + b2, det samme som formlen for den rigtige trekant siden den og b er repræsenteret i rektangulære vinkler i forhold til hinanden i det kartesiske plan (henholdsvis x og y-koordinater). Eftersom vi ved, at Mandelbrot sættet er afgrænset af vaor 2, og to af pladsen er lig med 4, kan vi stoppe tænke kvadratrødder bare for at se, hvis x2 + y2 > = 4.
Hvis nogen Cateto af en retvinklet trekant har længden> = 2, bør hypotenusen (diagonalt) være større end 2. Hvis du ikke forstår hvorfor, skitserer nogle ret trekanter på en kartesiske plan, og det vil blive óbvio- eller bare tænke på Følgende måde: 22 = 4, og tilføj et andet positivt tal til den værdi (da hæve eventuelle negative tal til firkanten resulterer i en positiv), kan det ikke resultere i noget mindre end 4. Derfor, hvis x- eller y-komponent af et komplekst tal har størrelsesorden på 2 eller derover, den absolutte værdi af dette antal er større end eller lig med 2, og som undslap Mandelbrot sæt.
For at beregne den "virtuelle bredde" for hver celle, divider den "virtuelle diameter" i "antal celler minus 1". Vi bruger en virtuel diameter på 4 i de foregående eksempler, da vi vil vise alt inden for en radius af 2 (Mandelbrot sæt er afgrænset af værdien 2). Til tilnærmelse af 3 sider er det 4 / (3-1), eller 4/2, hvilket resulterer i 2. For pladsen på 9 sider handler det om 4 / (9-1), eller 4/8, er lig med 0,5. Brug den samme virtuelle celle størrelse for bredde og højde, selvom du laver en side større end den anden - eller sættet vil blive forvrænget.
advarsler
Matematik kan blive meget vanedannende, ligesom alt andet, men det vil sandsynligvis ikke resultere i leverskader eller lungekræft.
Sådan lærer du at blive Software Engineer of Grace
Sådan lærer du at bruge en teknisk skrive software
Sådan downloader du software uden at overtræde loven
Sådan bidrager du til Open Source eller Open Source
Finde skjulte apps på Android
Sådan bliver du en Java Programmerer
Sådan danser Reggae
Sådan spiller du luftguitar
Sådan opretter du en fantasisk kæreste
Hvordan man argumenterer for at Gud eksisterer (kristendom)
Hvordan man tegner en Apollonius omkreds
Hvordan man laver en imaginær ven
Sådan gemmer du ordlister med hukommelsestrikker
Sådan analyserer du en tekst korrekt
Sådan beregnes impedans
Sådan beregnes Laplace Transform af en funktion
Sådan beregnes en afstand
Sådan finder du en symmetri akse
Sådan konverteres PowerPoint til Flash ved hjælp af Open Source Tools
Sådan oprettes grafen for en funktion